教學考試雜志社“優師計劃”階段性成果展示
——高考重難點相關試題選登

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A.10 B.12

C.15 D.20

【答案】B

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【答案】C

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【答案】B

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【答案】C

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【答案】C

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【答案】D

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【答案】A

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【答案】A

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【答案】B

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【答案】B

11.【細磨題】(本小題滿分12分)

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)斜率為1的直線l交橢圓C于M(x1,y1),N(x2,y2)兩點,且x1>x2.若直線x=3上存在點P,使得△PMN是以∠PMN為頂角的等腰直角三角形,求直線l的方程.

【考查角度】本題考查直線與橢圓的位置關系,考查化歸與轉化思想和運算求解能力，考查邏輯推理、數學抽象、數學運算等核心素養.(Ⅰ)由已知兩點在橢圓上,代入橢圓的標準方程可求出a,b的值；(Ⅱ)聯立直線與橢圓方程，確定m的范圍并找出x1，x2的關系.易知NP平行于x軸，所以NP中點的橫坐標就是點M的橫坐標，進而列方程組求解.

(3分)

解得a2=3,b2=1.

(5分)

(Ⅱ)設直線l的方程為y=x+m,P(3,yP),

(6分)

(7分)

由Δ=36m2-48m2+48>0,得-2

(8分)

因為△PMN是以∠PMN為頂角的等腰直角三角形,

所以NP平行于x軸.

(9分)

過點M做NP的垂線,則垂足點Q為線段NP的中點.

設點Q的坐標為(xQ,yQ),

(10分)

整理得m2+2m+1=0,解得m=-1.

(11分)

而m=-1∈(-2,2),

所以直線l的方程為y=x-1.

(12分)

12.【細磨題】(本小題滿分12分)

(Ⅰ)求橢圓方程；

(Ⅱ)記△ABD與△ABC的面積分別為S1和S2,求|S1-S2|的最大值.

【考查角度】本題考查橢圓的定義、直線與橢圓的關系、均值不等式求最值，考查運算求解、邏輯推理能力，考查數學運算、數據分析、邏輯推理和數學建模的核心素養.

(Ⅰ)通過橢圓方程基本量a,c求解,借助通徑,得方程,即可解得a,b,c的值，從而得橢圓方程;(Ⅱ)利用面積公式,直線與圓錐曲線位置關系聯立方程,由韋達定理,運用面積公式,變形后由均值不等式求解即可.

又∵b4=(a+c)2(a-c)2=(a2-c2)2,

代入得c2=3或1,

又a>b>c>0,∴c=1,

又a2=4,∴b2=3,

(4分)

(Ⅱ)當直線l斜率不存在時,直線方程為x=-1,

△ABD,△ABC面積相等,|S1-S2|=0.

(5分)

當直線l斜率存在時(k≠0),

設C(x1,y1),D(x2,y2),

直線方程為y=k(x+1)(k≠0),

消掉y,得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0.

(7分)

此時|S1-S2|=2||y2|-|y1||=2|y2+y1|

=2|k(x2+1)+k(x1+1)|

=2|k(x2+x1)+2k|

(9分)

(11分)

(12分)

13.【細磨題】(本小題滿分12分)

(Ⅰ)求橢圓的標準方程；

【考查角度】本題考查橢圓的標準方程、直線與橢圓的關系、數量積和三角形面積公式，考查運算求解能力與數形結合的數學思想,考查邏輯推理的核心素養.

【解題分析】(Ⅰ)設離心率為e,由題意知，

(1分)

所以a2=4,b2=3,

(2分)

(4分)

(Ⅱ)設M(0,t),直線l的方程為y=kx+t，

A(x1,y1),B(x2,y2)，

(5分)

所以|OA||OB|cos∠AOB=-3,

(7分)

聯立直線l和橢圓C的方程，有

整理得(3+4k2)x2+8ktx+4t2-12=0，

Δ=(8kt)2-4×(3+4k2)×(4t2-12)

=48(4k2-t2+3)>0,

(8分)

因為x1x2+(kx1+t)(kx2+t)=-3,

所以(1+k2)x1x2+kt·(x1+x2)+t2=-3,

(9分)

4(k2t2-3k2+t2-3)-8k2t2+(4k2t2+12k2+3t2+9)=0,

(11分)

(12分)

【方法點撥】該題考查的是直線與橢圓相交的問題，在解題的過程中，一是需要掌握橢圓方程中對應的參數a,b,c之間的關系，再者聯立直線方程與橢圓方程即"幾何問題代數化"，應用韋達定理,把兩個交點問題轉變為方程兩個根的問題.同時直線的方程在設的時候一定要注意斜率的存在與否問題，本題的關鍵是從題中尋找對應的等量關系.

14.【研發題】(本小題滿分12分)

(Ⅰ)求曲線Γ的方程；

(Ⅱ)△ABC的面積是否為定值？若是,求出該定值;若不是,請說明理由.

【考查角度】本題考查橢圓的標準方程及性質、直線與橢圓的位置關系、韋達定理、弦長公式、三角形的重心的性質,考查轉化思想,考查推理運算能力,考查數學抽象、數學運算核心素養.

(Ⅰ)根據題意列出方程并化簡即可；(Ⅱ)要分斜率存在和斜率不存在兩種情況來考慮,在表達三角形ABC的面積時,要求線段AB弦長,要求點C到AB的距離來表示三角形面積,屬于常規圓錐曲線題.

【解題分析】(Ⅰ)設曲線Γ上的任意一點M的坐標為(x,y),

(5分)

(Ⅱ)當直線AB斜率不存在時,

(6分)

(7分)

當直線AB的斜率存在時,設直線AB方程為

y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),

得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-36=0,

(8分)

(9分)

∵O為△ABC的重心,

∵C點在橢圓M上,

化簡得4m2=12k2+9，

(12分)

15.【細磨題】(本小題滿分12分)

(Ⅰ)求點Q的軌跡C的方程；

(Ⅱ)設曲線C的左、右頂點分別為A,B,E是C上異于A,B的任意一點,直線EN交C于另一點H,直線EB交直線x=4于點K,求證：A,H,K三點在同一條直線上.

【考查角度】本題考查橢圓的定義與標準方程、直線與橢圓的位置關系,考查運算求解能力與數形結合的思想,考查邏輯推理、數學運算的核心素養.

(2分)

由橢圓的定義可知，點Q的軌跡C是以點M，N為焦點，且長軸長為4的橢圓,

∴2a=4,c=1,b2=a2-c2=3，

(4分)

(Ⅱ)證明：設點E(x1,y1),H(x2,y2),

直線EH的方程為x=my+1,

整理得(3m2+4)y2+6my-9=0,

∵Δ=(6m)2+36(3m2+4)>0,

(7分)

將此方程與直線x=4聯立,

(9分)

(11分)

故A,H,K三點在同一條直線上.

(12分)

【方法點撥】該題考查的是直線與橢圓相交的問題,在解題的過程中,一是需要掌握橢圓方程中對應的參數a,b,c之間的關系,再者聯立直線方程與橢圓方程，即“幾何問題代數化”,應用韋達定理,把兩個交點問題轉變為方程兩個根的問題.同時，直線的方程在設的時候一定要注意斜率的存在與否問題,本題的關鍵是從題中尋找對應的等量關系.

16.【研發題】(本小題滿分12分)

(Ⅰ)求雙曲線E的方程；

(Ⅱ)過點F2作直線l與雙曲線的右支交于M，N兩點,求△MNF1的面積的取值范圍.

【考查角度】本題考查雙曲線的方程與性質、直線與雙曲線的位置關系、弦長公式、面積的計算，考查數學運算能力、轉化與化歸能力.

(4分)

整理可得(m2-3)y2+4my+1=0,

設M(x1,y1),N(x2,y2),

所以m2-3<0,

(5分)

設m2-3=t,則-3≤t<0,

(12分)

17.【細磨題】(本小題滿分12分)

過拋物線C:x2=2py(p>0)焦點的直線l與拋物線相交于A,B兩點,點M為拋物線上任一點,且拋物線在點M處的切線與直線l平行,弦長|AB|的最小值為4.

(Ⅰ)求拋物線C的方程；

(Ⅱ)若△MAB的面積為S,求S+|AB|的最小值.

【考查角度】本題考查直線與拋物線的位置關系，考查化歸與轉化的思想和運算求解能力，考查邏輯推理、數學抽象、數學運算等核心素養.

(Ⅰ)先寫出弦長的函數表達式,再根據弦長|AB|的最小值為4求得拋物線C的方程；(Ⅱ)寫出S+|AB|的表達式,通過換元,利用導數研究S+|AB|的最小值.

(1分)

(2分)

Δ=4p2k2+4p2>0恒成立，

(3分)

(4分)

=k(x1+x2)+2p=2pk2+2p.

(5分)

因為k∈R,所以當且僅當k=0時,|AB|取得最小值,即2p=4,所以p=2,

所以拋物線C的方程為x2=4y.

(6分)

(7分)

因為拋物線在點M處的切線與直線l平行,

(8分)

由(Ⅰ)可知|AB|=4(k2+1),

(10分)

(11分)

則f′(t)=6t2+8t>0,

所以f(t)在[1,+∞)上單調遞增，

所以f(t)min=f(1)=6,

故S+|AB|的最小值為6.

(12分)

18.【細磨題】(本小題滿分12分)

(Ⅰ)求拋物線C的方程；

(Ⅱ)設P是拋物線C上任意一點,過點P作拋物線的切線交拋物線的準線于點Q,求證:PF⊥QF.

【考查角度】本題考查直線與拋物線相關知識,考查推理論證、運算求解能力,考查邏輯推理、數學運算等核心素養.

(Ⅰ)由條件寫出直線AB的方程,與拋物線方程聯立由韋達定理及中點坐標公式求得,也可直接利用點差法進行求解；(Ⅱ)設出點P坐標及切線方程,將切線方程與拋物線方程聯立,由Δ=0得出斜率表達式,再求出Q點坐標,借助向量證明，也可利用導數及向量進行證明.

(1分)

整理得x2-2px-p2=0,

(2分)

解法一：設A,B橫坐標分別為x1,x2,

則x1+x2=2p=4,p=2,

(4分)

所以拋物線C的方程是x2=4y.

(5分)

解法二：設A(x1,y1),B(x2,y2),

由題意知x1+x2=4,x2-x1=y2-y1, (*)

(1分)

因為點A,B均在拋物線C上,

(2分)

即(x2+x1)(x2-x1)=2p(y2-y1),

把(*)代入得p=2,

(4分)

所以拋物線C的方程是x2=4y.

(5分)

把切線方程代入拋物線方程得x2-4kx+4kt-t2=0,

(6分)

所以拋物線x2=4y在點P處的切線方程為

(8分)

拋物線x2=4y的準線方程是y=-1,

(9分)

又F(0,1)，

(10分)

(11分)

所以PF⊥QF.

(12分)

(6分)

(8分)

因為拋物線C的準線方程為y=-1,

(9分)

又F(0,1)，

(10分)

(11分)

所以PF⊥QF.

(12分)

19.【細磨題】(本小題滿分12分)

(Ⅰ)求拋物線的方程;

(Ⅱ)求證：直線MN恒過定點．

【考查角度】本題考查拋物線標準方程及直線與拋物線的位置關系的應用與掌握程度，探求直線經過定點，考查考生的分析能力、計算能力，考查分類討論,變量轉換等數學核心素養.

【名師指導】(Ⅰ)由橢圓焦點即可得拋物線的p值；(Ⅱ)直線與拋物線聯立，利用韋達定理和中點坐標公式即得M坐標，CD⊥AB，得kCD，同理得點N坐標，直線MN恒過定點歸結為用參數把直線的方程表示出來，無論參數如何變化這個方程必有一組常數解．

【解題分析】(Ⅰ)由題意知F(1,0)，

所以拋物線的標準方程為y2=4x.

(3分)

(Ⅱ)證明:由題意知直線AB的斜率存在且不為0，

設lAB：y=k(x-1)(k≠0)，代入y2=4x，

得k2x2-2(k2+2)x+k2=0，

(7分)

同理，可得N(2k2+1，-2k)．

所以直線MN的方程為

(9分)

化簡整理，得(k2-1)y=k(3-x)，

故不論k為何值，直線MN恒過點(3,0)．

(12分)

20.【細磨題】(本小題滿分12分)

已知A(1,2)為拋物線y2=2px(p>0)上的一點，E,F為拋物線上異于點A的兩點，且直線AE的斜率與直線AF的斜率互為相反數.

(Ⅰ)求直線EF的斜率；

【命題意圖】本題考查直線與拋物線的位置關系，考查運算求解能力、數形結合思想，考查數學運算、數據分析、直觀想象、邏輯推理的核心素養.

【解題分析】解法一：(Ⅰ)設E(x1,y1),F(x2,y2)，

因為點A(1,2)為拋物線y2=2px(p>0)上的一點,所以y2=4x.

(1分)

設直線AE:y=kx+(2-k),

因為直線AE的斜率與直線AF的斜率互為相反數,

所以直線AF:y=-kx+(2+k),

k2x2+[2k(2-k)-4]x+(2-k)2=0，

(2分)

(3分)

(4分)

所以直線EF的斜率kEF=-1.

(5分)

直線l:x=ty+m,代入y2=4x,

得y2-4ty-4m=0,

所以y3+y4=4t,y3y4=-4m.N(-m,0),

(6分)

(8分)

(10分)

作過點P,Q垂直于x軸的直線,分別交x軸于點B,D,

(12分)

解法二：(Ⅰ)設E(x1,y1),F(x2,y2).

因為點A(1,2)為拋物線y2=2px(p>0)上的一點，所以y2=4x，

(1分)

(3分)

因為直線AE的斜率與直線AF的斜率互為相反數,

(4分)

(Ⅱ)設直線l的方程為l:x=ty+m.

P(x3,y3),Q(x4,y4),N(-m,0),

代入y2=4x,得y2-4ty-4m=0,

所以y3+y4=4t,y3y4=-4m.

(6分)

(7分)

由題可知

=(x3+m-λ(x4+m),y3-λy4)

(12分)