“新高考”新題型例說

湖南 歐陽才學

2020年北京、天津、山東和海南的數(shù)學高考使用新高考全國卷，“新高考”全國卷將更加注重對“創(chuàng)新意識”的考查.通過創(chuàng)新問題，考查考生對新穎信息、情景設問，選擇有效的方法和手段分析信息，綜合與靈活地運用所學的數(shù)學知識、思想和方法，進行獨立地思考、探索和研究，提出解決問題的思路，創(chuàng)造性地解決問題的能力.下面例析幾道立意新穎、表述脫俗、背景鮮活和設問獨特的新題型，供參考.

一、多項選擇題

突出一個主題，設計多個正確選項供考生選擇，這是多項選擇題主要的呈現(xiàn)方式.教育部考試中心任子朝說：“多選題的引入有利于提高全卷得分率，有利于區(qū)分學生，但選項數(shù)量設置有必要進行改進.這一題型一般是每題設置4個選項，全部選對滿分，選對但不全的得一半分，有選錯的得0分.”

( )

A.-3 B.-2

例2.(原創(chuàng))下面的結(jié)論中，正確的是

( )

A.若a，b∈R，則a2+3>2a

B.若a，b∈R，則a2+b2>2(a-b-1)

C.若a，b，c，d∈R，且滿足(a2+b2)d2+b2+c2≤2b(a+c)d，則b2=ac

解析：因為a2+3-2a=(a-1)2+2>0，所以A正確；

因為a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b-1)2≥0，所以B錯誤；

將(a2+b2)d2+b2+c2≤2b(a+c)d變形并整理，得(ad-b)2+(bd-c)2≤0，因此ad-b=bd-c=0，所以b2=ac，所以C正確；

故選ACD.

點評：本題以等式和不等式性質(zhì)的應用為著手點，綜合考查兩個實數(shù)的大小比較、非負數(shù)的性質(zhì)和基本不等式的應用等知識，以及作差法、配方法、不等化等、“1”的代換等方法技巧，是一道命題(結(jié)論)判斷的試題.

二、閱讀理解題

閱讀理解題通過給出一個新概念，或定義一種新運算，或給出新的問題情境，要求在讀懂題目的基礎上，將新舊知識相聯(lián)系，剖開現(xiàn)象看本質(zhì)，實現(xiàn)新信息向已學的知識和方法遷移，達到創(chuàng)新解題的目的.這類問題既能考查學生的閱讀理解能力和數(shù)學語言轉(zhuǎn)換能力，又能考查學生的探究能力.

例3.已知a,b∈Z,m∈N*，若a和b被m除所得的余數(shù)相同，則稱a和b對模m同余，記為a≡b(modm)．若函數(shù)f(x)=2x3-2x2-5x在點x=2處的切線的斜率為a，且a≡b(mod 10)，則b的值可以是

( )

A.2 015 B.2 017

C.2 019 D.2 021

解析：因為函數(shù)f(x)=2x3-2x2-5x，所以f′(x)=6x2-4x-5，所以f′(2)=6×22-4×2-5=11，所以a被10除所得的余數(shù)為1.因為a≡b(mod 10)，所以b被10除所得的余數(shù)為1．當b=2 021時，b被10除所得的余數(shù)為1,故選D.

點評：本題給出“a和b對模m同余”新概念和對應的“新符號”，關鍵是對新符號“a≡b(mod 10)”的認識和理解.在此基礎上利用導數(shù)的幾何意義求出a的值，再結(jié)合選項確定符合新概念的b的值.

例4.數(shù)列{an}中，對任意給定的正整數(shù)n，存在不相等的正整數(shù)i,j(i

(Ⅰ)若僅有3項的數(shù)列1,a,b具有性質(zhì)P，求a+b的值；

(Ⅲ)正項數(shù)列{bn}是公比不為1的等比數(shù)列.若數(shù)列{bn}具有性質(zhì)P，則數(shù)列{bn}至少有多少項？請說明理由.

∴a+b=2或a+b=-2.

(Ⅲ)設正項等比數(shù)列{bn}的公比為q，q>0且q≠1，則bn=b1·qn-1.

∵j>i≥1，且i,j∈N*，∴i+j-2≥1.

這時對于n=1,2,…,7，都存在bn=bibj，其中i

∴數(shù)列{bn}至少有7項.

點評：本題以數(shù)列知識為載體，以閱讀理解能力與推理論證能力為立意，以探索求解為目的，需要考生在理解數(shù)列{an}具有“性質(zhì)P”含義的基礎上，將其轉(zhuǎn)化運用到具體的求值、證明及探索等問題情境中，經(jīng)過運算求解或推理論證，從而解決問題.本題所傳遞的導向信息很明確，那就是不以“刷題”為備考方式，不以解決高精尖的難題為唯一追求，把復習備考的著眼點放在數(shù)學的“問題本質(zhì)”和能力培養(yǎng)上，將本質(zhì)性的東西弄熟吃透了，閱讀理解、抽象概括及推理論證能力提高了，相應的問題便會迎刃而解.

三、知識交叉題

在知識網(wǎng)絡的交叉點處設計試題，是基礎性與綜合性的最佳表現(xiàn)形式.“新高考”命題注定不囿于單一的知識點，而是從學科知識的內(nèi)在聯(lián)系出發(fā)，在知識交叉上做文章，注重知識之間的交匯、滲透和整合.一個題目往往包含多個知識點，解題時不能只局限于一個知識點，必須將相關知識納入一個系統(tǒng)中去考慮，靈活地從一個知識點轉(zhuǎn)到另一個知識點.

例5.如圖，AB是平面α的斜線段，A為斜足，點C滿足sin∠CAB=λsin∠CBA(λ>0)，且在平面α內(nèi)運動，則

( )

A.當λ=1時，點C的軌跡是拋物線

B.當λ=1時，點C的軌跡是一條直線

C.當λ=2時，點C的軌跡是橢圓

D.當λ=2時，點C的軌跡是雙曲線

當λ=1時，BC=AC，過AB的中點作線段AB的垂面β，則點C在平面α與平面β的交線上，即點C的軌跡是一條直線，所以A錯誤；

點評：以立體圖形為載體，以空間想象能力為立意，設置滿足一定條件的動點，著力將動點運動的軌跡設計為直線、圓、圓錐曲線或圓錐曲線的一部分，這是設計立體幾何與解析幾何交融的創(chuàng)新型試題的常用渠道，對促進思維能力和對核心概念的理解大有裨益，能很好地考查直觀想象核心素養(yǎng)和知識的綜合運用能力.本題將角的正弦關系轉(zhuǎn)化為棱長的比值后，根據(jù)選項中λ的取值分別分析、判斷和進一步求解.

整理，得tan2an+1-tan2an=1,

所以數(shù)列{tan2an}是以3為首項，1為公差的等差數(shù)列,

點評：三角函數(shù)、數(shù)列與導數(shù)是高中課程中極其重要的內(nèi)容，它們“聯(lián)姻”設計出的交匯性試題，既能體現(xiàn)數(shù)列的基礎性，又能體現(xiàn)三角函數(shù)與導數(shù)的工具作用.本題中的數(shù)列和導數(shù)都是“幌子”，重在考查三角恒等變換的運用能力.

四、數(shù)據(jù)分析題

給出實際應用背景，對研究對象獲取相關數(shù)據(jù)，運用統(tǒng)計方法對數(shù)據(jù)進行整理、分析和推斷，得出結(jié)論，從而解決問題.

例7.已知某種細菌的適宜生長溫度為10℃～25℃，為了研究該種細菌的繁殖數(shù)量y(單位：個)隨溫度x(單位：℃)的變化規(guī)律，收集數(shù)據(jù)如下：

溫度x/℃12141618202224繁殖數(shù)量y/個2025332751112194

對數(shù)據(jù)進行初步處理后，得到了一些統(tǒng)計量的值，如下表所示：

xyk∑7i=1(xi-x)2∑7i=1(ki-k)2∑7i=1(xi-x)(yi-y)∑7i=1(xi-x)(ki-k)18663.81124.31 42820.5

(Ⅰ)請繪出y關于x的散點圖，并根據(jù)散點圖判斷y=bx+a與y=cedx哪一個更適合作為該種細菌的繁殖數(shù)量y關于溫度x的回歸方程類型(給出判斷即可，不必說明理由)；

(Ⅱ)根據(jù)(Ⅰ)的判斷結(jié)果及表格數(shù)據(jù)，建立y關于x的回歸方程(結(jié)果精確到0.1)；

(Ⅲ)當溫度為25℃時，該種細菌的繁殖數(shù)量的預報值為多少？

參考數(shù)據(jù)：e5.5≈245.

解析：(Ⅰ)由題意，y關于x的散點圖如圖所示，

所以y=cedx更適合作為y關于x的回歸方程.

所以y關于x的回歸方程為y=e0.2x+0.5.

(Ⅲ)由(Ⅱ)中的回歸方程可知，令x=25，求得y=e5.5≈245，

所以當溫度為25℃時，預報值為245.

點評：本題主要考查數(shù)據(jù)的散點圖的應用，回歸方程的求解及應用，合理利用散點圖作出判斷，準確利用公式求解是解答的關鍵，著重考查數(shù)據(jù)處理能力與運算求解能力.本題充分體現(xiàn)了“將數(shù)據(jù)準備階段的步驟減少，給考生呈現(xiàn)比較規(guī)范的數(shù)據(jù)格式或數(shù)據(jù)的回歸模型.”把考查的重點后移到對數(shù)據(jù)的分析、理解、找規(guī)律，減少復雜的運算，突出對數(shù)學思想方法的理解和運用能力的考查，引導學生從“解題”到“解決問題”能力的培養(yǎng).

五、材料背景題

給出一些數(shù)據(jù)、圖形、表格等多種形式的背景材料，通過提供設計條件或結(jié)論開放、解題方法多樣、答案不唯一的試題，增強試題的開放性和探究性，引導學生打破常規(guī)進行思考，通過嘗試類比或猜測作出獨立的判斷，創(chuàng)造性地提出解決方案.

閱讀材料：我國著名數(shù)學家華羅庚先生曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.”在數(shù)學的學習和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來琢磨函數(shù)的圖象的特征.我們來看一個應用函數(shù)的特征研究對應圖象形狀的例子.

解析：圖象特征：

點評：在研究這樣的問題中，我們既用到了從特殊到一般的思想，又用到了分類討論的思想，既進行了靜態(tài)(特殊點)的研究，又進行了動態(tài)(趨勢性)的思考.讓我們享受數(shù)學研究的過程，傳播數(shù)學研究的成果.