理解抽象式子，發(fā)展核心素養(yǎng)

甘肅 張建文

數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分，是區(qū)分學(xué)生數(shù)學(xué)能力強(qiáng)弱的重要標(biāo)準(zhǔn)之一.數(shù)學(xué)抽象是指通過(guò)對(duì)數(shù)量關(guān)系和空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的素養(yǎng).數(shù)學(xué)抽象的主要表現(xiàn)為獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，提出數(shù)學(xué)命題和模型，形成數(shù)學(xué)方法與思想，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系.

抽象表達(dá)式是指沒(méi)有具體的變量表達(dá)式，是用最簡(jiǎn)潔、最一般化的數(shù)學(xué)符號(hào)表示的式子，與具體表達(dá)式是相對(duì)的，在不同的情境中能表示不同的數(shù)學(xué)元素.多層次多角度理解抽象表達(dá)式能很好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，訓(xùn)練抽象思維，提高數(shù)學(xué)能力.

一個(gè)抽象表達(dá)式的抽象性體現(xiàn)在結(jié)構(gòu)上的簡(jiǎn)潔性和內(nèi)涵上的豐富性，下面筆者就抽象表達(dá)式所蘊(yùn)含的特點(diǎn)進(jìn)行分類(lèi)簡(jiǎn)述.

1.抽象函數(shù)蘊(yùn)含圖象變換

一個(gè)抽象函數(shù)的表達(dá)式中的變量有特殊的含義，即此函數(shù)可以由其他函數(shù)變化而來(lái)，函數(shù)形式與結(jié)構(gòu)的變化對(duì)應(yīng)圖象的變化.

1.1橫向伸縮變換

f(x)=f(ωx)(ω>0)，已知x∈D,y=f(x)的解析式確定(可作圖).

D在x軸正半軸,y=f(x)在(0,+∞)上的圖象特點(diǎn)是：向右伸長(zhǎng),向左縮短(橫向伸縮)；

D在x軸負(fù)半軸,y=f(x)在(-∞,0)上的圖象特點(diǎn)是：向左伸長(zhǎng),向右縮短(橫向伸縮).

例1.已知函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(3x).當(dāng)x∈[1,3)時(shí),f(x)=lnx.若在區(qū)間[1,9)上,函數(shù)g(x)=f(x)-ax有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求a的范圍.

在[1,9)上g(x)有兩個(gè)不同零點(diǎn)?y=f(x)與y=ax圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn).

根據(jù)y=ax圖象動(dòng)態(tài)變化特點(diǎn)有：

反思：此題是在作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行分析解答,理解抽象表達(dá)式是準(zhǔn)確作圖的前提.在基礎(chǔ)圖形作好后根據(jù)直線斜率的變化可以得到兩曲線有兩個(gè)交點(diǎn)的情況.

1.2橫縱伸縮變換結(jié)合

f(x)=mf(ωx)(0<ω<1)，

例2.函數(shù)f(x)滿足：(1)f(2x)=2f(x)；(2)當(dāng)2≤x≤4時(shí),f(x)=1-|x-3|.求集合S={x|f(x)=f(36)}中的最小元素.

x∈[2,4],f(x)=1-|x-3|作為起始函數(shù),由此可以作出f(x)在(0,+∞)上的其余部分的函數(shù)圖象.

可得如下簡(jiǎn)圖：

故集合S={x|f(x)=f(36)}中的最小元素為12.

反思:此題是函數(shù)圖象橫向、縱向同時(shí)伸縮的經(jīng)典例題,解答的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確理解抽象式子f(2x)=2f(x),由此畫(huà)出函數(shù)圖象簡(jiǎn)圖，從而得到解答思路，列方程求解.

1.3橫向平移縱向伸縮

f(x)=mf(x-n)(n>0),

已知D是長(zhǎng)度為n的半開(kāi)半閉區(qū)間,x∈D,y=f(x)的解析式確定(可作圖).

(1)當(dāng)m>1時(shí),函數(shù)圖象在以n為步長(zhǎng)向右橫向平移的同時(shí)縱向伸長(zhǎng)；

(2)當(dāng)0

(3)當(dāng)m<0時(shí),函數(shù)圖象在以n為步長(zhǎng)向右橫向平移的同時(shí)縱向伸縮,再關(guān)于x軸翻折.

分析：f(x+1)=2f(x)?f(x)=2f(x-1),則可知函數(shù)圖象在(0,1]的基礎(chǔ)上以1為步長(zhǎng)向右橫向平移的同時(shí)縱向伸長(zhǎng)2倍.

x∈(0,1],f(x)=x(x-1)作為起始函數(shù),由此可以作出f(x)在定義域內(nèi)的其余部分的函數(shù)圖象.

當(dāng)x∈(1,2]時(shí),有x-1∈(0,1]，所以f(x)=2f(x-1)=2(x-1)(x-2),圖象相比于x∈(0,1]時(shí)，縱向伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍；

當(dāng)x∈(2,3]時(shí),有x-1∈(1,2]，所以f(x)=2f(x-1)=4(x-2)(x-3),圖象相比于x∈(1,2]時(shí)，縱向伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍；作簡(jiǎn)圖如下：

反思：此題雖然屬于恒成立問(wèn)題,但是必須依賴于函數(shù)圖象才可以判斷出x的取值.在問(wèn)題解答過(guò)程中,不僅需要從抽象表達(dá)式中看出圖象變換的規(guī)則,還需要求出對(duì)應(yīng)區(qū)間上的函數(shù)解析式,更要將恒成立問(wèn)題從函數(shù)圖象的角度去解釋.

2.抽象表達(dá)式蘊(yùn)含構(gòu)造意義

抽象表達(dá)式的不同表達(dá)形式蘊(yùn)含不同的函數(shù)構(gòu)造方向,根據(jù)題目情境的不同可以構(gòu)造導(dǎo)函數(shù)的原函數(shù)、對(duì)稱函數(shù)和周期函數(shù)等.例如：

(2)對(duì)于xf′(x)+f(x)<0，則可構(gòu)造F(x)=xf(x)；

(3)對(duì)于f′(x)+f(x)<0，則可構(gòu)造F(x)=exf(x).

所以x∈[0,+∞),g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.

所以g(a)-g(a2)≥0，即g(a)≥g(a2)?a≤a2，解得a∈(-∞,0]∪[1,+∞).

3.抽象表達(dá)式蘊(yùn)含數(shù)值變化意義

在抽象等式或不等式中,變量x可以表示一個(gè)實(shí)數(shù)，還可以表示一個(gè)表達(dá)式,根據(jù)題目的需要可以靈活進(jìn)行變換,這就需要我們深刻理解抽象等式或不等式的數(shù)值變化規(guī)律.在不同的表達(dá)式中數(shù)值變化規(guī)律是不同的，此外我們還可以據(jù)此推出新的結(jié)論,滿足不同題目的要求.

例5.已知定義在R上的函數(shù)f(x),對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,均有f(x+3)≤f(x)+3,f(x+2)≥f(x)+2,且f(1)=2.求f(2 020)的值.

分析：f(x+3)≤f(x)+3表示f(x)數(shù)值放大后變量數(shù)值減小3，函數(shù)值增大3，

f(x+2)≥f(x)+2表示f(x)數(shù)值縮小后變量數(shù)值減小2，函數(shù)值增大2.

則有f(x+1)+2≤f(x+3)≤f(x)+3?f(x+1)≤f(x)+1(*)，

根據(jù)(*)及原條件可得f(x)+2≤f(x+2)≤f(x+1)+1，即f(x)+1≤f(x+1)，

又由于f(x)+1≤f(x+1)且f(x+1)≤f(x)+1，可得f(x+1)=f(x)+1，

因此f(2 020)=f(2 019)+1=f(2 018)+2=…=f(1)+2 019=2 021.

反思：此題的核心在于理解兩個(gè)抽象不等式所蘊(yùn)含的數(shù)值變化特點(diǎn),由此選擇對(duì)f(x+3)進(jìn)行放大縮小變換,進(jìn)而得到一個(gè)新結(jié)論,由此再利用原條件與新結(jié)論得到另一個(gè)結(jié)論,最后得到f(x+1)=f(x)+1,至此問(wèn)題得以解答.縱觀此題全過(guò)程,里面的式子變換簡(jiǎn)潔而巧妙,不得不令人驚嘆,這都是建立在準(zhǔn)確形象的理解抽象不等式的基礎(chǔ)上的.

4.總結(jié)與展望