多角度思考2019年全國卷Ⅱ文科第20題

甘肅 焦永垚

(Ⅰ)若△POF2為等邊三角形，求C的離心率；

(Ⅱ)如果存在點P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面積等于16，求b的值和a的取值范圍.

一、試題分析

以橢圓為載體的圓錐曲線高考壓軸題是歷年高考中經久不衰的考點之一，往年的考題大多都考到了直線與橢圓的位置關系、定點定值以及最值等這些傳統的熱點問題，教師和考生在備考中往往會對這類題進行大量的練習，總結成固定模式，形成解題套路，這就使一部分本來能力不足的考生經過反復練習后也能得到一些分數.2018年1月，《普通高中數學課程標準(2017年版)》正式發布，界定了數學核心素養的含義，自此高考命題更加注重對學生數學學科核心素養的考查.本題主要強調學生對相關數學概念、方法及思想的理解和應用；強調基礎性和綜合性；注重數學本質和通性通法；考查了邏輯推理、直觀想象和數學運算等數學核心素養.下面筆者從多維度對本題進行分析，探尋其解法，追溯其源頭，研究其變式，培養學生良好的創造思維與發散思維.

二、解法探究

第一問相對簡單，在此不再贅述，下面從不同角度探尋第二問的解法.

角度一 回歸課本，夯實基礎，關注核心，重視通法

【評注】本題源于人教A版選修2-1第49頁習題2.2A組第6題，設點P的坐標，利用三角形面積公式是解決該題的通性通法，因此在高考復習中，我們不能脫離教材，而是要回歸教材，注重教材中例題和習題所蘊含的思想方法，我們又不能拘泥于教材，還要注重對教材的一些經典知識的拓展與延伸，才能做到有的放矢，立于不敗之地.

角度二 橢圓的焦點三角形問題，橢圓的第一定義是關鍵

【評注】對于橢圓的焦點三角形的問題，常用到橢圓的第一定義，并且利用均值不等式求a的取值范圍顯得更直接，更巧妙.

角度三 利用橢圓的參數方程解題簡化運算

【評注】利用橢圓的參數方程解題，經常可以起到簡化運算的作用，同時還可以順理成章地利用三角函數的有界性求參數的取值范圍.

角度四 利用橢圓的極坐標方程可以提高解題效率

【評注】利用橢圓的極坐標方程解題，可以簡化運算，提高解題效率，本題由條件PF1⊥PF2，可知|OP|=c，所以適合建立以坐標原點為極點的極坐標系，思路清晰，運算簡便快捷.

覆土的薄厚程度，是種植花生的關鍵和基礎。在桃林山區，選種時選擇特性優良（例如：抗旱、早熟等）的種子，假設種植出的花生用于食品加工，就一定要選擇“口味”好的品種。，在花生的整個生長過程中，每個生長階段對水分的要求都不同，例如：開花期、結莢期，需要大量的水分，假設水分不足，會使花生的產量大受影響。從花生的播種，一直到出芽，都需要充足的水分，所以，必要時一定要人工進行澆水，以保證花生的總產量。與此同時，花生的品種不一樣，在生長過程中，對水分的需求以及水分需要的生長期也不同，因此，在補充水分時，一定要根據花生的品種進行科學灌溉。

角度五 焦點三角形的面積公式

三、同源再現

焦點三角形的問題在高考中多次出現，如2008年重慶卷理科第21題；2009年上海卷理科第9題和文科第12題；2010年全國卷Ⅰ理科第9題和文科第8題；2018年全國卷Ⅱ文科第11題等等.這些題都可以借助于焦點三角形的面積公式去解決，甚至2018年全國卷Ⅱ文科第11題的條件和結果與本文中的2019年全國卷Ⅱ文科第20題的第(Ⅰ)問完全相同，此考點在高考中出現的頻率之高、解題方法之重要不言而喻.

四、同源變式

變式訓練在高考復習中具有非常重要的作用，它可以對某一數學問題有關的概念和思想方法等進行不同角度與不同背景的變化，引導學生從不同角度，用不同的思維去探究問題，從而提升解題的能力，在此過程中訓練學生從“變”的現象中挖掘“不變”的本質，進而培養學生良好的創造思維與發散思維.

【變式1】(2018·全國卷Ⅱ文·11)已知F1,F2是橢圓C的兩個焦點，P是C上一點.若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，則C的離心率為( )

【答案】D.

【答案】3.

【變式3】(2010·全國卷Ⅰ文·8)已知F1,F2為雙曲線C:x2-y2=1的左、右焦點，點P在C上，∠F1PF2=60°，則|PF1|·|PF2|=( )

A.2 B.4

C.6 D.8

【答案】B.

【變式4】(2010·全國卷Ⅰ理·9)已知F1,F2是雙曲線C:x2-y2=1的左、右焦點，點P在C上，∠F1PF2=60°，則P到x軸的距離為( )

【答案】B.