“端點(diǎn)效應(yīng)”破解不等式恒成立問題
——由2019年全國卷Ⅰ文科第20題引發(fā)的思考

湖北 楊瑞強(qiáng)

在求解不等式恒成立的參數(shù)取值范圍問題時(shí)，先考慮區(qū)間端點(diǎn)的性質(zhì)，若區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值為零，則可先找到一個(gè)不等式成立的必要條件，從而縮小范圍，然后再證明必要條件也是充分條件，從而得到參數(shù)的取值范圍.

一、試題呈現(xiàn)

(2019·全國卷Ⅰ文·20)已知函數(shù)f(x)=2sinx-xcosx-x，f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).

(Ⅰ)證明：f′(x)在區(qū)間(0，π)存在唯一零點(diǎn)；

(Ⅱ)若x∈[0，π]，f(x)≥ax，求a的取值范圍.

二、試題解析與評(píng)析

1.試題解析：

(Ⅰ)證明略

(Ⅱ)設(shè)函數(shù)g(x)=2sinx-xcosx-(a+1)x，則g′(x)=cosx+xsinx-(a+1).

因?yàn)間(0)=0，所以一定存在x0∈(0，π]，使得當(dāng)x∈[0，x0]時(shí)，g′(x)≥0.(若不然，即對(duì)任意x0∈(0，π]，當(dāng)x∈[0，x0]時(shí)，有g(shù)′(x)<0，則當(dāng)x∈(0，x0]時(shí)，g(x)<0，不合題意)，從而有g(shù)′(0)=-a≥0，解得a≤0.

故a≤0是原不等式成立的一個(gè)必要條件.

下面證明其充分性：當(dāng)a≤0時(shí)，g(x)≥0在[0，π]上恒成立.

當(dāng)a≤-2時(shí)，g′(x)≥0在[0，π]上恒成立，從而函數(shù)g(x)在[0，π]上單調(diào)遞增，于是g(x)min≥g(0)=0，此時(shí)g(x)≥0在[0，π]上恒成立，符合題意.

綜上所述，a的取值范圍是(-∞，0].

2.解法評(píng)析

上述解法是一種不同于官方給出的方法，此解法由兩個(gè)方面構(gòu)成，一方面，通過由給定區(qū)間左端點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)值建立不等式g′(0)≥0，求得a的范圍，此范圍是原不等式恒成立的必要條件；另一方面，證明在此范圍內(nèi)原不等式恒成立，即是原不等式恒成立的充分條件.由這兩個(gè)方面知，所求范圍為原不等式恒成立的充要條件，故而正確.

不等式恒成立求參數(shù)取值范圍是高中數(shù)學(xué)常見問題，也是高考的熱點(diǎn).解決此類問題的通法是構(gòu)造函數(shù)、對(duì)參數(shù)分類討論，也可以優(yōu)先采用分離參數(shù)法，然而并非對(duì)所有的問題都能奏效，例如此題就不是很適用.

三、解法引申與探究

1.端點(diǎn)效應(yīng)

在適當(dāng)考慮區(qū)間端點(diǎn)的性質(zhì)時(shí)，先找到一個(gè)不等式成立的必要條件，從而縮小范圍，然后再證明必要條件也是充分條件，即可得出結(jié)論.這種必要性探路，再證充分性的方法，我們稱之為“端點(diǎn)效應(yīng)”.它實(shí)質(zhì)上是從求“不等式恒成立”的必要條件入手，求得參數(shù)的范圍，再證明其為充分條件.

2.解法原理

設(shè)函數(shù)f(x)中含參數(shù)m，x屬于給定數(shù)集A，f(x)>0恒成立的m的取值范圍為集合B.若?x0∈A，由f(x0)>0解得m∈C(此時(shí)B?C)；且當(dāng)m∈C時(shí)，f(x)>0恒成立，則B=C.

以在f(a，m)=0情況下，f(x，m)≥0在[a，b]上恒成立為例，在尋求必要條件時(shí)，執(zhí)行如下解題步驟：第一步，因?yàn)閒(a，m)=0，當(dāng)x≥a時(shí)，要使得函數(shù)f(x，m)在[a，b]上單調(diào)遞增，即f′(x，m)≥0在[a，b]上恒成立即可；第二步，若函數(shù)f(x，m)單調(diào)遞增，則令f′(x，m)≥0求出m的取值范圍，這個(gè)取值范圍就是不等式成立的必要條件.否則，將函數(shù)f′(x，m)當(dāng)作函數(shù)f(x，m)返回第一步，直到求出m的取值范圍；第三步，證明上述所得的必要條件也是不等式恒成立的充分條件即可.

在審題中注意研究給定區(qū)間左右端點(diǎn)的函數(shù)值或?qū)Ш瘮?shù)值，依據(jù)恒成立的不等式(或其變形)，建立一個(gè)必然成立的不等式，解此不等式得到參數(shù)的一個(gè)范圍(必要條件)；然后再證明該范圍(或該范圍內(nèi)的一部分)是“不等式恒成立”的充分條件.以上兩個(gè)方面，即確定了參數(shù)的取值范圍.

3.適用類型

①不便于參變分離；

②參變分離后的函數(shù)形式比較復(fù)雜.

4.解題步驟

①移項(xiàng)，將所有變量移到一邊，使不等式右側(cè)為0；

②計(jì)算端點(diǎn)處函數(shù)值，驗(yàn)證端點(diǎn)處函數(shù)值是否為0，若為0，則可繼續(xù)往下走，否則此題不適合使用端點(diǎn)分析法.

具體操作如下：

(1)必要性條件縮小范圍

在全省國土空間基礎(chǔ)數(shù)據(jù)共享應(yīng)用現(xiàn)場(chǎng)會(huì)上的講話（張國斌） ........................................................................4-8

①若f(x，m)≥0(m為參數(shù))在[a，b](a，b為常數(shù))上恒成立，且f(a)=0(或f(b)=0)，則f′(a)≥0(或f′(b)≤0).此法應(yīng)用于區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值為零的情況.

(2)證明充分性得結(jié)果

求f′(x)并判斷f(x)的單調(diào)性，然后表示f(x)的最小值f(x)min，使f(x)min≥0即可.注意第二步一定要利用第一步中參數(shù)的范圍.

四、應(yīng)用舉例

1.區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值為零型

【例1】(2017·全國卷Ⅱ文·21節(jié)選)設(shè)函數(shù)f(x)=(1-x2)ex，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≤ax+1，求a的取值范圍.

解析：設(shè)函數(shù)g(x)=(1-x2)ex-ax-1，則g′(x)=(-x2-2x+1)ex-a.

因?yàn)間(0)=0，所以g′(0)=1-a≤0，即a≥1.

故a≥1是原不等式成立的一個(gè)必要條件.

下面證明其充分性：當(dāng)a≥1時(shí)，由g′(x)=(-x2-2x+1)ex-a，可得g″(x)=(-x2-4x-1)ex<0(x≥0)，所以函數(shù)g′(x)在[0，+∞)上單調(diào)遞減，此時(shí)，g′(x)≤g′(0)≤0，于是函數(shù)g(x)在[0，+∞)上單調(diào)遞減，因此g(x)≤g(0)=0，符合題意.

綜上所述，a的取值范圍是[1，+∞).

【評(píng)注】本題由給定區(qū)間左端點(diǎn)的函數(shù)值為0，得到一個(gè)關(guān)于其導(dǎo)函數(shù)的不等式g′(0)≤0，求得a的范圍，成為原不等式恒成立的必要條件，然后再證明此范圍是原不等式恒成立的充分條件.

【例2】(2016·全國卷Ⅱ文·20節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx-a(x-1)，若當(dāng)x∈(1，+∞)時(shí)，f(x)>0，求a的取值范圍.

解析：由f(1)=0知，要使得當(dāng)x∈(1，+∞)時(shí)，f(x)>0，則必有f′(1)≥0.

故a≤2是原不等式成立的一個(gè)必要條件.

綜上所述，a的取值范圍是(-∞，2].

【評(píng)注】本題由給定區(qū)間左端點(diǎn)的函數(shù)值為0，得到一個(gè)關(guān)于其導(dǎo)函數(shù)的不等式f′(1)≥0，求得a的范圍，成為原不等式恒成立的必要條件，然后再證明此范圍是原不等式恒成立的充分條件.

2.區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值均為零型

【例4】(2018年湖北省部分重點(diǎn)中學(xué)高三期中聯(lián)考第21題改編)已知函數(shù)f(x)=2x-ln(2x+1)，g(x)=ex-x-1，當(dāng)x>0時(shí)，kf(x)≤g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)k的范圍.

五、問題總結(jié)

由上可見，對(duì)含參不等式恒成立問題，端點(diǎn)效應(yīng)法是一個(gè)不錯(cuò)的方法，現(xiàn)總結(jié)如下.

對(duì)于不等式f(x，m)≥0(m為參數(shù))在[a，b](a，b為常數(shù))上恒成立，求m的取值范圍的問題，可按如下處理(其中m為參數(shù)，a，b為常數(shù))：

(1)若f(a，m)=0，則由f′(a，m)≥0(一階含參導(dǎo)數(shù))得到必要條件，再證明必要條件是充分條件；

(2)若f(b，m)=0，則由f′(b，m)≤0(一階含參導(dǎo)數(shù))得到必要條件，再證明必要條件是充分條件；

(3)若端點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)值也為0，則可求二階導(dǎo)數(shù)，代入端點(diǎn)值，繼續(xù)按(1)或(2)執(zhí)行，得到必要條件，再證明必要條件是充分條件.