常見復合三角形問題的題型歸類與求解策略

云南 唐明超 子銀奎

解三角形是高中數學的核心知識點，重點研究三角形的三條邊與三個角共六個基本元素，常規試題中一般是給出六個元素中的某幾個具有關聯的元素求解另外幾個元素，主要考查正弦定理、余弦定理、三角形內角和定理、三角恒等變換等知識點的綜合應用.解單個三角形的過程相對簡單，但是解答有公共邊的兩個或三個三角形的復合問題就顯得相對復雜，雖然本質還是解三角形，但問題的分析與解決過程對抽象概括能力、推理論證能力與運算求解能力的要求比較高，主要體現在正弦定理與余弦定理的有效選擇以及多個知識點的綜合運用.本文基于解三角形的基本原理和方法對一類具有公共邊的復合三角形問題進行歸類，并嘗試對此類題型進行分析，給出一般性的求解策略，為學生開展學習、為教師開展教學研究活動提供參考素材.

類型1 解有一條公共邊的兩個三角形

1.1三角形內角平分線問題

【例1】(2015·全國卷Ⅱ理·17)△ABC中，D是BC上的點，AD平分∠BAC，△ABD面積是△ADC面積的2倍.

試題分析：從試題的呈現方式上看，試題由兩個具有公共邊的三角形復合得來，圖形中含有三個不同的三角形，而且公共邊恰好是大三角形的內角平分線；從知識的角度看，本題主要考查正弦定理、余弦定理等平面幾何知識的綜合運用.第(Ⅰ)問的求解需要根據已知條件中的面積關系并借助三角形的面積公式進行轉化，選用三角形的不同面積公式可以得到不同的解法如下.

對于第(Ⅱ)問的解答需要充分用好已知條件及第(Ⅰ)問的結論，尋找相關量間的邏輯聯系，建立已知量與未知量之間的等量關系，通過解方程得出答案，突出三角形中的方程思想.

1.2三角形的中線問題

試題分析：公共邊是大三角形的中線，根據鄰角或補角的性質可以考慮運用余弦定理建立方程組解題.

評析：該種方法具有一定的局限性，僅適用于確定了兩個或確定更多基本量的三角形問題，對于其他類型的問題要嘗試用好三角形的中線性質，靈活運用向量間的基本關系進行轉化進而實現解題，如例3.

【例3】(2012·浙江卷理·15改編)在△ABC中，M是BC的中點，AM=1，∠BAC=60°，則△ABC面積的最大值=________.

評析：對于公共邊是中線的解三角形問題，首先要結合已知條件確定三角形的基本量，從已知基本量最多的三角形入手，利用余弦定理或是正弦定理構造關于邊與角的方程組，通過解方程組實現三角形基本量的求解；但如果三角形中已知的基本量不足3個時要考慮借助中線的性質綜合向量運算實現向量與數值之間的轉化實現解題.

1.3三角形的高線問題

試題分析：當公共邊為三角形的高線時，復合三角形中出現兩個直角三角形，此時既可以考慮使用勾股定理也可以結合已知條件合理選用正弦定理和余弦定理解題，當然出現垂直這個特殊的幾何特征，坐標法也是一種簡單快捷的方法.

評析：在平面幾何圖形中求相關幾何量時，需尋找各個三角形之間的內在邏輯聯系，交叉使用公共條件，常常將所涉及的已知幾何量與所要求的幾何量集中到某一個三角形中，然后選用正弦定理與余弦定理求解.該題還可以使用坐標系法和向量運算實現解題，由于題目較基礎，此處不予展開.

1.4其他三角形中連接頂點與對邊任意一點的復合問題

【例5】(2019·浙江卷·14)在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，點D在線段AC上，若∠BDC=45°，則BD=________，cos∠ABD=________.

試題分析：解決一般性的復合三角形問題，要基于已知條件尋找基本量之間的數量關系，盡可能地將三角形的邊角關系確定下來，再借助正弦定理與余弦定理先計算已知基本量最多的三角形的邊和角，多次運用正弦定理和余弦定理實現解題.

評析：利用正、余弦定理解決實際問題往往需要將實際問題抽象概括后盡可能地讓已知量與未知量全部集中在一個三角形中，這樣既可以使用正弦定理也可以使用余弦定理求解；實際問題經抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個或兩個以上三角形，這時需作出這些三角形，先處理有兩個條件及以上的三角形，再逐步解答其他的三角形，有時需要設出未知量，從幾個三角形中列出方程(組)，通過解方程(組)得出所要的解.

1.5三角形中連接三個頂點與內部任意一點的復合問題

(Ⅱ)若∠APB=150°，求tan∠PBA的值.

試題分析：該題可以理解為由三個兩兩共邊的三角形復合而來，整體看上去相對復雜，但是認真讀題后發現問題的本質還是解三角形，所以弄清楚三角形邊與角的關系，將未知量固定于某個已知量較多的三角形中，逆向思考要解決該問題還需要什么條件，用什么定理，最后正向書寫解答過程即可.

評析：解該題的關鍵在于列方程前把要知道的邊用目標角表示出來，通過分析題目發現要解決第(Ⅰ)問首先要建立關于PA的方程，而建立方程先要確定一個包含PA邊的三角形；第(Ⅱ)問的關鍵點還是要用目標角θ將未知邊PB表示出來，再利用三角形內角和定理確定第三個角，這樣在△PBA中就找到了四個可以建立關系的基本量，從而實現弦切互化得出結果；當然本題出現了垂直關系，還可以借助平面直角坐標系利用坐標運算實現解題.

類型2 三角形復合為四邊形的問題

2.1四邊形對角互補問題

【例7】(2014·全國卷Ⅱ文·17)四邊形ABCD的內角A與C互補，AB=1，BC=3，CD=DA=2.

(Ⅰ)求C和BD；

(Ⅱ)求四邊形ABCD的面積.

試題分析：該題中具有公共邊的兩個三角形復合為對角互補的四邊形，而且四邊形的邊都是已知的，對于其中的任意一個三角形均能找出三個有關系的基本量；又由兩個角互補可知余弦值互為相反數，所以可以考慮用兩次余弦定理求出未知量；第(Ⅱ)問在第(Ⅰ)問的基礎上很容易，分別求出兩個三角形的面積，從而得出四邊形的面積.

評析：整個解答過程完全基于三角形基本量的運算，雖然題目呈現的是四邊形的邊角關系，但是本質還是解三角形，用好對角互補這一條件，既可以根據余弦值互為相反數還可以根據正弦值相等建立等量關系實現解題.

2.2四邊形的其他問題

【例8】(2018·全國卷Ⅰ理·17)在平面四邊形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5.

(Ⅰ)求cos∠ADB；

試題分析：該題中的兩個三角形均有至少兩個已知的基本量，可以很自然地想到利用余弦定理或是正弦定理求解，仔細觀察發現△ABD中已知兩邊及其一邊的對角，可以考慮將第(Ⅰ)問中未知量的求解置于△ABD中，進一步選擇最簡便的方法；第(Ⅱ)問在第(Ⅰ)問的基礎之上可以利用兩角互余確定cos∠BDC，從而求得BC.

評析：解答該題的關鍵在于找出已知的基本量，將要求的基本量固定于一個具體的三角形中，合理選擇正弦定理與余弦定理實現基本量的計算，另外注意利用互余的兩個角正弦值與余弦值相等建立等量關系.