例說一類復合函數零點個數的解題策略

廣東 葉土生

1.問題的提出

縱觀近幾年全國各省市的各類模擬考試題及高考試題中，函數零點是考查的重點.這類問題常常作為能力題出現，其中有一類復合函數的零點個數問題是近些年的考查熱點和難點.這類問題不僅可以涉及函數的各類性質，同時也可以將函數與方程、數形結合、分類與整合以及化歸與轉化等高中常見的數學思想方法蘊含其中進行綜合考查.所以復合函數的零點問題具有綜合性強和難度大等特點，對考生的思維能力、運算能力和轉化能力等都提出了很高的要求.對于這類問題，學生普遍感覺難以把握，并且有些教師在講解這類問題時，也是就題論題，沒有給學生解釋清楚其中的原理和主要的解題策略.本文試圖通過具體的例題將這類零點問題進行深層次的剖析，從中歸納出解題要領和策略.首先我們先從一道模擬試題探尋這類問題的解題思路和技巧.

2.典型例題解析

例1.如圖，偶函數f(x)的圖象如字母M的形狀，奇函數g(x)的圖象如字母N的形狀，若方程f[g(x)]=0，g[f(x)]=0的實根個數分別為m，n，則m+n=

( )

A.18 B.16

C.14 D.12

解:由圖象知，f(x)=0有3個實根xi(i=1,2,3)，其中x1∈(-2,-1)，x2=0，x3∈(1,2).g(x)=0有3個實根yi(i=1,2,3)，其中y1∈(-1,0)，y2=0，y3∈(0,1).由f[g(x)]=0，得g(x)=xi(i=1,2,3).由圖象可知方程g(x)=xi(i=1,2,3)都有3個實根，因而m=9；由g[f(x)]=0，得f(x)=yi(i=1,2,3)，由圖象可得f(x)=yi(i=1,2,3)的實根個數分別為2,3,4，即n=9，所以m+n=9+9=18，故選A.

剛才我們分別從代數和圖象兩個角度分析了f[g(x)]=0解的個數的解題策略，即可以先進行換元將問題轉化為求解一個二元方程組，并結合f(x)和g(x)的函數圖象觀察得到結果.我們可以把這一策略進行推廣，對于這一類問題都可以從以上兩個角度進行研究.

例2.若函數f(x)=x3+ax2+bx+c有極值點x1,x2，且f(x1)=x1

( )

A.3 B.4

C.5 D.6

下面再看一例含參的較為綜合的問題，如果把以上方法領悟透了，問題也是能迎刃而解的.

( )

A.(-1,0) B.(0,1)

分析:本題提供的參考答案是將函數h(x)直接進行求導，然后分析函數的單調性，極值點，結合極限的思想進行分類討論，非常復雜，學生很難領悟.如果用類似于前面的方法將問題分而治之，問題的解決思路就顯得非常簡單清晰.

f(x)的性質較為明顯，是偶函數，且當x≥0時，f(x)=2x-x2，從而很容易畫出函數圖象，如圖所示.

當k>0時，f(t)=k有四個不同的解；當k=0時，f(t)=k有三個不同的解；當k<0，f(t)=k有兩個不同的解.

而當k≤0時，可以看出h(x)最多只有三個零點，如圖所示，不合題意；

當k>0時，觀察圖象，h(x)可能有4個、5個或6個零點，共三種情況.

例4.已知函數f(x)=x2+px+q，且f[f(x)]=0僅有一實根.求證:p≥0,q≥0.

分析:本題的參考答案提供的是先用零點式表示出f[f(x)]，然后針對判別式Δ進行分類討論，運算較為煩瑣，學生也不易想到其中技巧.以下提供一種類似以上的方法技巧，能很巧妙地解決本題.

3.體會與反思