求平面向量模的最值問題思路舉隅

安徽 祝 峰

平面向量具有“數”和“形”的雙重性，是溝通幾何、代數和三角的工具.平面向量的模是一個實數，是平面向量的核心概念，具有明確的幾何意義，與平面向量的運算緊密相關.這使得平面向量的模在試題中常出現在知識點的交匯處，特別是模的最值問題，著眼于向量知識，與函數、方程、三角、不等式和解析幾何聯系，思維跨度大且解法靈活.下文擬通過實例列舉求解平面向量模的最值問題的三種思路，供參考.

一、坐標運算(解析法)

在平面向量模的最值問題的求解中，通過建立平面直角坐標系，就能把向量的條件“坐標化”“方程化”和“解析化”，明確向量模的幾何意義.這樣可避免繁雜的邏輯推理過程，通過解析運算即可解決問題.

【例1】平面向量a，b，c滿足|a|=1，|b|=2，a·b=1，(a-c)·(b-c)=0，則|2a+c|的最大值為

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【評析】如果純粹從向量運算的角度考慮問題會很難著手，原因有二：①條件(a-c)·(b-c)=0在說明什么？也就是說c具有什么性質很難被發現，這恰好又是解決這個問題的關鍵；②|2a+c|的幾何意義是什么？隱藏很深，不易被察覺.兩個問題在建立平面直角坐標系進行坐標運算后即可迎刃而解，我們稱這樣的思路為“解析法”.

二、平面幾何(幾何法)

平面向量及其線性運算和數量積運算均有明確的幾何背景，在平面向量模的最值問題求解中可從向量模的幾何意義出發，結合圖形的幾何特征，利用平面幾何知識，直觀地解決模的最值問題.

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【評析】此例也可以像例1一樣用解析法解答，但這個問題中|a-b|變化的本質因素b所滿足的條件|b-2e|=1的幾何意義明顯，容易構造幾何圖形，利用圖形性質結合平面幾何有關知識可解決.我們稱這樣的思路為“幾何法”，即賦予向量條件幾何意義，用平面幾何知識求解模的最值.

三、不等式(不等式法)

(一)三角形不等式

利用向量加減法的三角形法則及三角形兩邊之和大于第三邊可得如下不等式：

|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|(當a=λb時取等號)，我們稱其為“三角形不等式”( 當a，b是復數時這個不等式也成立).在向量模的最值問題的求解中，可以用它來解決.

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A.6 B.7

C.8 D.9

【評析】在求向量和差的模的最值時，可以考慮三角形不等式，需注意的是等號取到的條件，只有等號取到時，才能取到最值.對于|a±b|≥|a|-|b|，可以加強為|a±b|≥||a|-|b||用于求最小值，當且僅當a，b共線且反向時取等號.

(二)均值不等式

任意實數a，b∈R*，有如下不等式成立：

【例4】已知向量a，b滿足|a+b|=|a-b|=5，則|a|+|b|的取值范圍是

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(三)柯西不等式

【評析】柯西不等式應用廣泛.尤其是在不等式證明和向量積的最值問題求解中，靈活巧妙地應用它，可以使一些較為困難的問題迎刃而解.|a·e|嚴格來說并不是向量的模，但其是與|a|，|e|有聯系的一個量，也視其為向量模的最值求解問題.

四、函數(函數法)

向量的模的變化如果是由變量導致，可以建立向量模與變量之間的函數關系，問題即轉化為求函數最值的問題.

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【解析】設e1，e2夾角為θ，則

【評析】把|e1+λe2|視為λ的函數，求取得最小值時的θ值，進而可求|e1+e2|，向量模有最值的根本原因是其在變化，函數是描述變化直接的手段，求解向量模的最值問題過程中，函數思想應占有重要位置.