基礎性 綜合性 創新性 選拔性
——2019年高考全國卷Ⅰ圓錐曲線試題評析及備考建議

福建 陳崇榮

教育部考試中心任子朝先生在《新高考數學學科考核目標與考查要求研究》中提出“高考數學學科在考查過程中要體現基礎性、綜合性、應用性和創新性的考查要求”.2019年高考全國卷Ⅰ對圓錐曲線的考查在注重基礎性和體現綜合性的同時，突出選拔性和創新性.下面一起來欣賞2019年高考全國卷Ⅰ中的圓錐曲線試題.

1.注重基礎性

基礎知識的理解、基本能力的發展和基本態度與價值觀的養成，是學生未來發展和終身發展的基礎.數學教育的傳統基礎是指基礎知識、基本技能和基本能力，后來隨著課改的深入又增加了對過程性目標以及重視學生情感、態度與價值觀的培養等.

圓錐曲線是中學數學的核心內容，圓錐曲線基礎知識的理解和思想方法的掌握，對發展學生的核心素養發揮著基礎性的關鍵作用.因此每年高考應覆蓋橢圓、雙曲線、拋物線的概念、幾何性質，直線與圓錐曲線的位置關系等基礎知識，通過對圓錐曲線的概念、幾何性質基本方法的考查，增強考查內容的基礎性；同時通過對圓錐曲線基礎知識、基本技能、基本思想方法、基本活動經驗的全面考查，強化學科基礎，使學生牢固掌握解決問題的基本方法和工具，促進學科核心素養的提升.

例1.(2019·全國卷Ⅰ理·10)已知橢圓C的焦點為F1(-1,0)，F2(1,0)，過F2的直線與C交于A，B兩點.若│AF2│=2│F2B│，│AB│=│BF1│，則C的方程為

( )

解析：如圖，設|F2B|=m，則|AF2|=2m,|BF1|=|AB|=3m，由橢圓的定義有2a=|BF1|+|BF2|=4m,所以|AF1|=2a-|AF2|=2m，所以A(0,b).

點評：本題考查橢圓、直線以及三角形的基本概念和性質，試題的設計體現基礎性，以及靈活運用知識的能力和數形結合的思想，給不同水平的學生提供廣泛的研究空間，學生可以根據自己的能力水平得到不同的解題路徑和方法.考查的核心素養目標是邏輯推理、數學運算素養,體現了2017年版新課標的基本理念.

2.體現綜合性

綜合性是指學習者對其所擁有的數學知識、數學能力、數學態度和數學品質的有效整合.高考試題內容的綜合性要求學生注重認識事物整體的結構、功能和作用，以及分析理解事物變化發展的過程，鼓勵學生從整體上分析各種現象的本質和規律，促進學生形成一個更加全面、完整的認知結構.在這個過程中，學生可以體會數學思想方法在分析問題、解決問題中的運用.

圓錐曲線涉及知識點眾多，而試卷的容量有限，因此只能通過綜合設計試題，將圓錐曲線的多個知識點銜接起來考查.如將直線與圓錐曲線的位置關系、圓錐曲線的概念和幾何性質相結合考查，或者結合平面向量、平面幾何知識等學科內容知識的結合考查.要求學生能綜合應用所學知識、原理和方法分析問題和解決問題，從整體上分析各種現象的本質和規律，促進學生形成更加全面、完整的知識網絡.

點評：本題考查的知識是平面向量中的相等向量、垂直向量，雙曲線的漸近線和離心率，考查的核心素養目標是邏輯推理、直觀想象和數學運算素養.作為填空題的最后一題，本題需要學生有清晰的邏輯思維能力、良好的直觀想象能力，知識的綜合理解能力.本題有較好的選拔功能與良好的區分度，有很好的教學導向作用，引導中學數學教學在提高學生的綜合分析能力、問題轉化能力和邏輯推理素養方面下工夫，凸顯了數學新課標的基本要求.

3.突出創新性和選拔性

創新意識是理性思維的高層次表現.高考數學要充分利用學科特點，加強對創新能力的考查.主要途徑有：增強試題的開放性和探究性，加強獨立思考和能力的考查；通過創設新穎的試題情境，創新試題呈現方式，考查學生的閱讀理解能力，體現思維的靈活度；提出有一定跨度和挑戰性的問題，引導學生進行深入思考和探究，展現學生分析問題和解決問題的思維過程，考查學生的數學抽象和邏輯推理素養.

(Ⅰ)若|AF|+|BF|=4，求l的方程；

根據韋達定理有y1+y2=2，y1y2=-3t.

點評：本題考查拋物線的幾何性質，考查直線與拋物線的綜合應用問題，涉及平面向量和弦長公式的應用.綜合考查了邏輯推理和數學運算等核心素養，以及數形結合思想、函數與方程思想和化歸與轉化思想.

4.復習備考建議

2019年高考數學全國卷Ⅰ圓錐曲線試題，難度適中，緊扣新課程標準、考試說明，考查內容全面.突出考查學生對基礎知識的掌握，同時更重要的是考查學生核心素養的發展水平，以區分和選拔學生.根據2019年的圓錐曲線試題分析，談談如下復習建議.

4.1回歸教材，注重基礎，強化運算求解能力,提升核心素養

2019年全國卷Ⅰ對圓錐曲線的基礎知識進行了全面考查，如圓錐曲線定義、幾何性質和直線與曲線位置關系等，而且不回避熱點，如離心率問題或弦長問題等.因此要回歸課本復習基礎知識，使學生了解知識的發生、發展和應用過程，夯實學生的知識基礎，使學生掌握解決問題的工具.每年的高考試題很多都是由課本習題改編而來，源于課本，高于課本.所以在復習備考時要重視教材上的例題和課后習題.例如人教B版選修2-1P74鞏固與提高第4題中也是“已知直線與拋物線相交所得弦長，求直線方程”，很明顯應該就是2019年全國卷Ⅰ第19題的影子.

數學運算是數學六大核心素養之一.圓錐曲線復習過程中，如何更好得落實新課標精神，提高學生的數學運算素養尤其重要.2019年全國卷Ⅰ第19題要求學生在短時間內選擇恰當的直線方程代入拋物線方程進行準確的計算化簡求值，還是有一定困難，因為不同的直線方程涉及的計算量不一樣.因此平時要引導學生進行大運算量的練習，有些問題不能只想不練，爭取每周完整計算1-2道圓錐曲線試題，提高學生數學運算素養.

4.2重視圓錐曲線的幾何性質，切實提升數形結合思想和化歸與轉化思想在解決問題中的運用

自從笛卡爾創設解析幾何以來，代數法成為解決解析幾何問題的通性通法，但是解析幾何問題的本質是幾何問題，利用幾何中的幾何性質解答往往能避開煩瑣的代數運算，起到出奇制勝、事半功倍的效果.縱觀2019年的高考圓錐曲線試題，其中都離不開圖形分析，而且需自己畫圖，數形結合處理問題才會游刃有余.因此在平時的教學中，要訓練學生多畫圖，因為畫圖既可以幫助學生理解題意，又可以幫助學生快速找到解題思路.2019年全國卷Ⅰ第10、16、19題，數形結合是解決它們的強有力的“武器”，特別是第16題，角度關系、長度關系、平面幾何關系等都是從圖形中推理出來的，沒有圖就如“巧婦難為無米之炊”一樣.

4.3研究2017年版新課標，關注核心素養導向下的高考命題的改變