基于GeoGebra的阿氏圓與卡西尼卵形線的可視化探究

黃武

摘要：阿氏圓與卡西尼卵形線是有名的軌跡問題，本文以其為載體，利用GeoGebra軟件演示了兩類軌跡的形成過程，實現了數學知識點的可視化。

關鍵詞：GeoGebra;阿氏圓;卡西尼卵形線;可視化

平面內，到兩定點F1、F2的距離之和等于定值2a（2a>F1F2）的點的軌跡為橢圓，到兩定點F1、F2的距離之差的絕對值等于定值2a（2a

一、阿氏圓探究

1.??? 阿氏圓背景a

阿氏圓是阿波羅尼斯圓的簡稱.到兩定點的距離之比為定值a（a>0且a?1）的點的軌跡為圓[1]，這個軌跡最先由古希臘數學家阿波羅尼斯發現.

2.??? 基于GeoGebra的阿氏圓可視化探究構造步驟：

步驟1：選取滑動條工具構造參數a（區間可選為[0，10]），選取射線工具構造射線AB，選取對象上的點工具構造射線AB上任意點C.

步驟2：選取對象上的點工具構造x軸上任意點D、E，選取圓（圓心與半徑）工具以D為圓心AC為半徑構造圓c.

步驟3：選取距離/長度工具度量線段AC，在輸入框中輸入r=ACa，得到r的值，選取圓（圓心與半徑）工具以E為圓心r為半徑構造圓d.

步驟4：選取交點工具構造圓c、圓d的交點F、G，選取??? 線段工具，構造線段DF、DG、EF、EG.

步驟5：選取 軌跡工具構造F關于C的軌跡，同方法構造G關于C的軌跡.

構造說明：1、利用滑動條工具確定a的值（a>0且a?1）.

3.D、E為兩個定點，F、G為兩圓的交點.當C在射線AB上運動時，F、G也隨之運動，但都有a=AC|/r=|DF|/|FE|=|DG|/|GE|，滿足條件的軌跡為圓。

二、卡西尼卵形線探究

1.??? 卡西尼卵形線背景

到兩個定點的距離之積為常數的點的軌跡為卡西尼卵形線.卡西尼卵形線最先有法國籍天文學家和水利工程師喬凡尼·多美尼科·卡西尼在研究土星及衛星的運行規律時發現的.

2.??? 基于GeoGebra的卡西尼卵形線可視化探究

構造步驟：

步驟1、2同前面的步驟1、2.

步驟3：選取距離/長度工具度量線段AC，在輸入框中輸入r=aAC，得到r的值，選取圓（圓心與半徑）工具以E為圓心r為半徑構造圓d.

步驟4同前面的步驟4.

構造說明：1、利用滑動條工具確定a的值.

3.??? D、E為兩個定點，F、G為兩圓的交點.當C在射線AB上運動時，F、G也隨之運動，但都有a=r·|AC|=|FE|·|DF|=|GE|·|DG|

4.??? 對于DE=2，當a取大于0的不同值時，可以得到以下結論：

（1）當0

（2）當a=1時圖像成?形自相交叉的雙紐線（如圖四）;

（3）當1

（4）當a=2時圖像與第（3）種情況相似，曲線中部變平（如圖六）;

（5）當a>2時，曲線中部凸起（如圖七）.

三、結束語

阿氏圓與卡西尼卵形線都是有名的軌跡問題，以它們為背景的幾何問題在近年來的高考中經常出現，運用GeoGebra軟件對它們進行可視化探究，為知識的猜想、探究和證明提供幫助.

參考文獻

[1]?? 溫慶峰.從一道課本習題看“阿波羅尼斯”圓[J].中學數學，2019（07）：38-39.

[2]?? https：//wenku.baidu.com/view/b05a064d650e52ea5518986b.html

[3]?? 徐永忠.阿波羅尼斯圓與高考試題[J].上海中學數學，2014（1-2）：90-93.

項目資助：湖南省職業院校教育教學改革研究項目（立項編號：ZJZB2019034）。