重視“模型化思想”教學，充分挖掘教材習題

王桓

【內容摘要】本文通過2019年高考數學理科立體幾何試題和教材相關習題的對比，挖掘了教材習題和高考習題的關聯，說明了模型化思想教學的重要性和重視教材習題的關鍵性。

【關鍵詞】模型化思想 教材 習題核心素養

2019高考結束了，數學全國Ⅰ卷整體貫穿了建模思想的應用，重視學生學會學習能力的培養，給我印象深刻的是理科第18題，下面我就本題談談自己的想法：

考題再現

（1）求證：PA∥平面EDB

（2）求證：PB∥平面EFD

（3）二面角C-PB-D的大小.

鏈接思考

1.幾何圖形背景分析

無論是高考第18題還是兩道習題，都是以基本的常規圖形直四棱柱、直四棱錐、正方體等作為模板背景來設問。這樣的背景都具有共同的特征：

（1）側棱和底面具有垂直關系，由線面垂直可以得到一系列的面面垂直和線線垂直。

（2）構成立體圖形的面是特殊的四邊形或特殊的三角形。如平行四邊形、菱形、矩形、正方形、等腰三角形、直角三角形。既然是特殊的平面圖形，這些平面圖形則具有特殊的性質，無論是設問還是解題，只要能很好的利用這些特殊性質，則是比較有意義。

2.衍生點的分析

無論是高考第18題還是兩道習題，都是以特殊點———中點作為衍生點，以衍生點或者已知頂點來構造線段，進而構建構造新的平面圖形和立體圖形，這樣的點組成的直線與已知直線具有特殊的線線關系，運用這些特殊的線線關系就能得到線面關系。

3.設問及解法分析

無論是高考第18題還是兩道習題，都是以線面的垂直、平行關系作為問題，都是以二面角作為背景來考察。其中線面關系的考查都是以三角形中位線或者構造平行四邊形為線線平行的突破口來考查，其中一個中點都要用到平行四邊形的對角線互相平分的性質。高考第18題中的點N、人教A版必修2第56頁練習2底面中心、人教A版選修2-1第109頁例4便是這樣的點。二面角的求法在08課改理科引入空間向量之后，便一直是考查用空間向量中的法向量求二面角，既然要求兩個平面的法向量，就必須建立空間直角坐標系，建立空間直角坐標系優劣直接影響計算量的大小，而這兩道題中，都已知了底面的垂線和底面的特殊性，因此，我們只需要在底面找到兩條相互垂直的直線，空間直角坐標系中可以順利建立，而底面又是比較特殊的菱形或者正方形，利用正方形鄰邊互相垂直和菱形的對角線互相垂直，很快就能得到過同一點的三條直線兩兩垂直，空間直角坐標系順利建立，問題得以解決。

教學感悟

通過以上分析，我認為在以后的教學中，我們應該從以下幾方面進行教學：

1.充分重視模型化思想的應用，深度挖掘教材習題中蘊含的基本模型

新修訂的高中數學課程標準提出，數學核心素養是數學課程目標的集中體現，是具有數學基本特征、適應個人終身發展和社會發展需要的必備品格與關鍵能力。高中數學核心素養主要包括：數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析。

其中，對于數學建模，詳細描述為數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學知識與方法構建模型解決問題的過程。主要包括：在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題，分析問題、構建模型，求解結論，驗證結果并改進模型，最終解決實際問題。數學模型構建了數學與外部世界的橋梁，是數學應用的重要形式。數學建模是應用數學解決實際問題的基本手段，也是推動數學發展的動力。

在數學建模核心素養的形成過程中，積累用數學解決實際問題的經驗。學生能夠在實際情境中發現和提出問題；能夠針對問題建立數學模型；能夠運用數學知識求解模型，并嘗試基于現實背景驗證模型和完善模型；能夠提升應用能力，增強創新意識。

特級教師張思明提出：我們通過數學建模的教與學要為學生創設一個學數學、用數學的環境，為學生提供自主學習、自主探索、自主提出問題、自主解決問題的機會。近年來，數學建模應用題的數量和分值在高考中逐步增加，可見在命題中已經在轉變傳統的數學學科體系觀念，旨在引導學生關心社會、關心未來，實現高考命題改革與中學教育、教學觀念改革的結合。

模型化思想也是數學建模思想的體現，在教學中，如果我們能更好地運用教材習題，挖掘習題中蘊含的基本模型思想，能充分的分析幾何圖形中蘊含的豐富的模型思想和模型性質，引導學生在識圖、析圖的過程中感受幾何圖形的特殊美，那么學生將會產生探究幾何圖形的興趣，進而克服“見圖就煩”的心理障礙，反而形成一種“見中點就找中位線”的條件反射，在解題過程中找到學習的成就感和愉悅感。

2.找到共性，分析個性，挖掘習題內涵，促進“學會學習”

“學會學習”是核心素養的關鍵，是核心素養的能力體現。“學會學習”不僅是學會知識，而是學會知識的探究方法和其中蘊含的研究思想。高考題依托于教材習題，但是又不拘泥于教材習題，作為教師，我們在教學過程中要充分的設置教材習題的變式題，引導學生發現其中的本質共性。如：對于人教A版選修2-1第109頁例4，我們可以將底面正方形的特殊性逐漸去掉，變式成矩形，再變式成菱形、平行四邊形，給出需要的邊角關系，引導學生在自己的探究過程中找到建立空間直角坐標系的步驟：線面垂直→面內兩條垂線→平移至三線共點。可見，在教學中我們只要注重挖掘教材習題，充分考慮幾何圖形的特殊性，設置變式題，便能和高考接軌，提高學生的解題能力，便能有效地引導學生“學會學習”。

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（作者單位：太原市第二中學校）