追根究底 助力深度學習

徐敏月 戴銀杏

【摘 ? 要】植樹問題蘊含的數學思想主要有對應思想、化歸思想和模型思想，包含除是理解植樹問題的關鍵。在對學情與教材再理解的基礎上，教學可從以下四個方面來展開。聯系舊知，追溯原有知識;圖式結合，體悟數學思想方法;深度對比，追問解題策略根源;學以致用，追尋生活適用。以促進學生的深度學習。

【關鍵詞】植樹問題;教學實踐;策略

植樹問題的除法屬于包含除類型。在多年的教學中，筆者發現班里總有一部分學生好像已經會了，教學時總能說出教師想要的答案，因而耐不下心去傾聽教師的講解，實則他們并不理解為什么這樣做，課后變式練習時，這些學生往往出錯。如何糾正這種淺層次學習現象，促進學生深度學習呢？筆者從以下四方面進行了實踐與思考。

一、在聯系舊知中溯源

教學時，引導學生聯系舊知識學習新知識，能使他們在學習新知時感到不陌生。植樹問題的關鍵是求間隔（段數），屬于除法中的包含除。因此，筆者從除法入手，讓植樹問題與除法的意義建立聯系。為了了解學生對除法的掌握情況，筆者做了一個前測：“請你用20÷5=4編兩種不同類型的題并畫圖表示題目的意思?！保ㄈ绻灰缶幰环N類型，學生基本只編等分除的類型）全班40名同學的編題、畫圖情況統計如下：

從統計結果看，大部分學生對包含除的理解和應用比較薄弱。如何改善這一狀況，為植樹問題的學習打好基礎呢？筆者在課始選取了四份前測作業（見右圖），組織學生進行診斷、分析，以期加深學生對包含除意義的理解。

【課堂實錄】

1.呈現徐同學和張同學的作業。

師：他們錯在哪里？

生：沒有寫平均分。

2.呈現許同學和范同學的作業。

師：他們編的題沒有錯，為什么都可以用20÷5=4來計算。

生：就是求20里面有（4）個5。

師：問題出在哪里呢？

生：問題出在畫圖上，分給4個人，只能畫4份，他卻畫了5份。只能做4個蛋糕卻從圖中看到做了5個蛋糕。

師：是的，讓我們一起數一數線段圖進行驗證。

3.呈現優秀作業，讓學生解讀分析。

通過辨析對比，學生明確了作業中的易錯點，教師用優秀作業進行示范分析，提高了學生對包含除意義的再理解。此環節的教學，追溯植樹問題知識的生長點，為學習植樹問題的畫圖打下基礎，也豐富了學習素材。

二、在圖式結合中體悟

植樹問題學習的關鍵是用“對應”思想分析段數與棵數之間的數量關系，達到由“段數”推斷“棵數”的目的。因此，結合圖示理解算式的含義，通過“對應”建立兩個量之間的關系，是本課的重點，也是難點，教學中安排了兩次探究活動。

【第一次探究】

1.出示：在20米長的小路一邊植樹，每隔5米種1棵（兩端要栽），一共要種多少棵？

學生反饋有三種解答：①20÷5=4（棵）;②20÷5=4，4+1=5（棵）;③ 20÷5=4，4+2=6（棵）。

師：三種解答中都有“20÷5=4”，它表示什么意思？你覺得誰的意見正確呢？你想怎么驗證？

生：用畫圖的方法。（師板書：畫圖法）

2.展示學生作業，請一位同學上臺擺圖。（簡單地畫上小樹，或用圖形代替小樹）

師：“20÷5=4”，你能結合圖說一說它表示什么意思嗎？

生：它表示20米長的小路，每5米種1棵，也就是每5米1段，可以分成4段。

師：可以分成4段，那為什么說可以種5棵樹呢？

生（一邊指板書連線一邊說）：1棵樹對應1段，這樣對過來，正好是4棵，兩端都要種，所以最后再加1。

3.師（指著學生畫的圖）：你還發現了什么？

生：種樹是種在端點上的，兩端都種，種的棵數比段數多1。

4.師：不同長度的小路一邊栽樹（兩端要栽）也是這樣的規律嗎？我們繼續探究。

【第二次探究】

出示探究單：

學生獨立探究，小組交流，選擇兩個學生上臺反饋。

生：我假設這條路長（35）米，我的列式是35÷5=7（段），7+1=8（棵）。我發現因為兩端都要栽，所以栽樹的棵數比段數（多1）。不畫圖，我列式計算出1000米要栽：1000÷5=200（段）， ?200+1=201（棵）。

師：為什么先選比較小的數據計算？

生：這樣比較容易畫，簡單。

師：是的，由簡單數據入手得出結論，是一種重要的數學思想方法。（板書：簡→繁）

第一次探究讓學生通過畫圖直觀理解，初步感知“對應”思想下棵數與段數的關系，理解算式中兩個“4”的不同意義，同時明確為什么要加1。

第二次探究讓學生在開放的背景下，通過圖式結合體驗植樹問題背后的數學思想，實現由段數推斷棵數的目的。學生在探究中意識到小數據操作易于發現規律，通過建模，直接得到1000米的路要植樹多少棵的算法?；睘楹喌臄祵W思想方法成為學生學習的一種內在需求。

三、在深度對比中施策

本節課安排了兩次比較，但重點不同。第一次比較使學生理解段與棵的不同，段數是求20里面有（ ?）個5;第二次比較使學生發現解決植樹問題的關鍵是明確段數。

【第一次比較】

師：我們之前編的題和今天學的植樹問題有什么不一樣的地方？（出示學生前測編題，如下圖）

生：之前是求幾段，現在是求幾棵。（板書：段與棵）

師：平均分得到的是一段一段的，可種樹是種在哪里的？

生：種樹是種在端點上的。

師：兩者有什么相同的地方嗎？

生：都是先求20里面有（ ?）個5。

師：是啊，這就是二年級的除法應用題。求幾棵樹還要根據兩端都栽的要求加1。

第一次比較是教師引導學生比較植樹問題和之前編的題的聯系和區別，找到植樹問題和包含除之間本質的相同點都是先求20里面有（ ?）個5，從而使學生理解植樹問題的關鍵是包含除問題，感受知識之間的相互聯系。

【第二次比較】

該活動安排在基礎練習和變式練習之后，學生先獨立思考并解答這些題，然后全班交流反饋并比較。練習設計如下：

師：通過剛才這四道題的解題，你們發現解決植樹問題的關鍵是什么？

生：弄清楚段數。

（學生說，教師課件圈出每題中的“段”）

師：段數可以怎么得到呢？

生：利用除法來計算，用“總距離÷每段距離=段數”或“已知的棵樹-1=段數”求出來。

解決植樹問題的關鍵是弄清楚段數。而段數的求法在兩端都種的情況下無非就是兩種：一種是總距離÷每段距離=段數，另一種是棵數-1=段數，學生在解決兩端都栽這類植樹問題時思路清晰明了了，就能為學習其他類型的植樹問題打下良好的基礎。

四、在學以致用中綜合

教學時教師還要引導學生透過生活現象尋找與植樹問題類似的問題，并用學到的“植樹問題”的原理來解釋生活中的現象，從而夯實植樹問題的知識點，感受數學與生活的緊密聯系。

【課堂實錄】

師：今天學習了植樹問題，如果把總長看成一條路，那么這些點可以看成樹。

課件呈現：

生：馬路上的路燈問題。假如每隔幾米安裝一盞路燈，一條路上兩端都安裝，一共可以安裝幾盞路燈？

生：上樓的問題。從1樓到2樓需要30秒，那么從3樓到6樓需要多少秒？

生：排隊人數的問題。一排一共有20名同學，每兩個同學之間是1米，這一排一共有多少米？

師：老師也找了一些生活中的植樹問題。

教師一邊演示課件（見下圖），一邊追問。

師：橋欄為總長，什么是樹呢？

生：橋墩為樹，橋墩與橋墩之間為段。

師：從公交車牌上你發現了什么？

生：站點為樹，相鄰站之間為段，起點與終點之間為總距離……

師：觀察這些問題你有什么發現？

生：我發現都是關于段數和點（棵）數的問題。

本環節通過引發學生尋找生活中的其他“植樹問題”，拓展了知識的外延。

課后筆者進行了后測，后測情況統計分析如下：

后測中沒有學生因為不理解而畫錯圖，能明顯感受到解決兩端都栽的植樹問題的數學模型學生已經牢固掌握，學生能夠清晰溝通現實生活情景與植樹問題的聯系。錯例中求經過的時間，相當于求總距離，一些學生沒能理解發第13輛車時前面已經相隔了13-1=12（間隔），但可喜的是重新畫圖后，他們都能自己訂正。與往屆學生作業比較，本屆學生正確率高出許多。

參考文獻：

[1]朱德江.走向“深度學習”[J].小數數學教師， 2016（3）.

[2]劉仍軒.淺談小學數學深度學習的研究與實踐[J].小學教學研究（理論版）， 2017（9）.

（浙江天臺縣外國語學校 ? 317200）