數學建模競賽創新分析體系構建及實踐探索

常志強 呂俊杰 張 博 趙文媛＊

（哈爾濱醫科大學，黑龍江 哈爾濱 150081）

【關鍵字】數學建模；問題分析；數學模型；學科競賽

0 引言

數學建摸是提升大學生創新、實踐等綜合素質能力的重要學科競賽[1]，也是培養學生創新創業能力的重要平臺[2]。隨著比賽的開展，數學模型研究方法日趨完善，論文寫作日趨規范。盡管如此，當前學生在分析問題這一方面仍存在不足，包括參賽學生對問題認識不清[5]，對各問題間的關系捉摸不透等。當前相關參考文獻在引導大學生分析問題這一重要環節卻相對忽略，這恰恰是每個大學生要掌握的重要技能，這也是數學建模競賽設立的初衷。

數學建模有方法，創新有方法，那么數學建模競賽是否有方法呢？ 創新是一個從無到有，從有到精的一個遞進過程。 基于創新的思想，為了能夠解釋出數學建模競賽中問題之間的關系以及如何分析問題，本文通過對歷年真題進行整理，分析和比較，最終總結出一個具有創新意義的問題分析流程（圖1）。 經過實踐，該流程對幾乎所有歷年賽題有效，只要按照這個分析流程分析和解決問題，基本上能達到賽題要求。

1 數學建模競賽問題分析體系

本文從問題出發， 針對問題及問題要求間關系、問題參數間關系、問題模型間關系和問題解與出題人想法間關系這4 個關系對數學建模問題的分析進行詳細的解讀。

1.1 問題及問題要求間關聯

圖1 數學建模競賽分析體系

數學建模競賽主要考察對象是大學生，而大學生正處于分析問題和解決問題的初步階段，他們分析和實踐能力相對不足。 建模競賽的出題過程也是一個逐步遞進、啟發大學生思考的過程。 數學建模一般會以3～4 個問題的形式逐步展開。在此，本文以含4 個問題的賽題為例，問題1 到問題2 是一個遞進關系，同樣，問題2 到問題3，問題3 到問題4 也都是遞進關系。

所述的遞進關系主義含義為， 前者是后者的基礎，而后者是在前者基礎上提出的。在遞進關系中，問題1，問題2，問題3，問題4 都是遞進關系，也就是起源是1，終點是4，只要滿足問題4，那么整個建模問題就都會解決。 從這個意義上講，該賽題雖然有4 個題目，但實際上是一個問題，那就是“題目”。那如何應用該關聯呢？ 從辯證角度講，可分別從問題1 入手后正向推演，或者從問題4 入手后逆向推演。

1.2 參數間關聯

由于問題間的遞進關系，后面的問題往往是在前面問題基礎上生成的，因此需要的參數也是一種遞進關系。 后面問題的參數往往又包含了前面問題的參數，這是一種包含關系。 如果后面的問題沒有前面問題的參數，這說明兩者間的遞進關系不滿足，這樣的模型基本是不符合實際情況的，需要重新進行校訂和修改。 同樣，前面問題中的參數要為后面的問題進行鋪墊，這也決定了前面問題的參數對后面問題有應用價值，否則前面問題就沒有出現的意義，這是由于問題整體性決定的。

1.3 模型間關聯

由于問題和參數的遞進關系，針對每個問題建立的模型也必然是一種遞進關系，這種遞進關系包含了參數的遞進和要解決問題的遞進，我們把這種關系叫做基礎；反過來，后一個問題的模型往往能夠解決前一個問題。 這個邏輯思維在建模過程中是至關重要的。如果前一模型對于下一問題模型沒有任何作用或者說不是后一個問題的基礎，那么參賽者對于問題的理解是有所偏頗的或者是不正確的。如果后一個問題不能解決前一個問題，只有兩種情況，一種是上一問題理解錯了；另一種是當前問題理解錯了。

根據上述結論，建立模型時，要先從全局角度進行分析。 問題1 是問題2 的基礎，問題2 是問題3 的基礎，問題3 是問題4 的基礎，從這個邏輯看，只要完成了問題4，前面所有問題也就都解決了。 因此，建模時要先從全局角度進行建模分析，從最后一問分析入手，先確定所要建立模型的整體結構，然后逐步確定第3 問的問題模型，第2 問的問題模型和第1 問的問題模型。

問題模型間的關聯無論從建立模型還是評價模型都有較實際的應用價值，對理解問題也有重要的參考意義和實際的指導價值。 通過在近3 年的教學實踐，學生們對這個觀點也表示認同，并認為對建模實踐非常有可操作性。

1.4 問題解及出題人想法間關聯

在建模實踐中，模型的解不一定是問題的解。 模型中給出一種計算方法，或是給出一個參數值，求得一組數值解。但是出題人的想法可能要從多個角度進行分析， 也就是需要帶入多組數據進行計算和比較，而這往往是模型本身不能直接反映出來的。 因此，在模型求解時，一定要以問題要求和出題人的想法為出發點進行分析。 以計算平面折疊桌桌尾曲線題為例，其不僅要給出不同角度的曲線方程，還要根據不同角度將圖形繪制出來。

在實際建模過程中， 出題人的想法至關重要，他往往超越了模型本身， 題目中蘊含了出題人的想法，這恰恰是建模的核心之處。

1.5 例題講解

以2016 年賽題A 題為例進行分析。 該問題為系泊系統的設計。

在問題簡述方面，問題2 中“在問題1 的假設下”，這是遞進關系； 問題2 中提及了錨點與海床的夾角和鋼桶傾斜角，而問題1 沒有涉及，這也是遞進關系。 問題3 中水深是一個變量，這是在問題2 中定量的遞進；水速和風速從定值變成變量，這也是遞進關系。

問題要求中，問題1 到問題2，再到問題3，出題人從求解給定數值解到給定范圍解，這都是遞進關系的體現。

在參數方面，問題1 中的風速、海水密度、水深、重物球質量、錨鏈長度是常數，鋼桶傾斜角度是常數；而在問題2 中，重物球質量變成變量，鋼桶傾斜角度也成為變量，這也是遞進關系。反過來，問題2 中的參數都包含了問題1 中的參數，是包含關系。

在模型方面， 問題1 的模型根據關系求解值即可；在值求解的過程中建立的函數關系對第二問有一定基礎，但由于其增加了參數，因此他并不能解決第二問的問題，所以問題1 是問題2 的基礎；反過來，問題2 的模型，將風速、傾斜角、質量等設為問題1 中的定值時，則能解決第1 問的問題，就是解決關系。 同樣，相比第三問，第二問中水深、水速、風速是定值，它們僅能為第三問提供基礎模型，但反過來，將第三問模型中參數值變成定值，就能解決第2 問的問題。 這就是解決關系。綜合講，該問題只需1 個模型，那就是第3 問的模型。 只要第3 問模型構建完畢，所有問題都會得到解決。

在出題人想法方面，本題希望大學生給出系泊系統中所有參數間關系， 并給出特定情況下的具體值。因此，必須有有針對性的進行討論。

2 評價與討論

2.1 歷年真題賽題實際情況評價

全國大學生數學建模競賽從1992 年開始， 至今已有25 套賽題， 通過對所有本科組賽題利用本文的建模競賽標準分析方法進行分析，結果顯示除去只含一個問題的賽題，本分析方法適用于所有的賽題。 這充分表明本方法在分析建模賽題和審查賽題問題上是十分有效的。

此外，本方法不僅可以用來進行問題分析，同樣也可以作為論文評價的參考標準。 如果問題、參數間沒有遞進關系，說明論文分析的有問題；如果不同問題間的模型沒有關聯， 那么論文也是偏離出題人思想，其結果很難令人信服。 若后面問題的模型不能解決前面問題， 這一般是模型間的聯系不緊密造成的，從全局看，這樣的論文也是有所偏頗的。

2.2 討論

本團隊研究得出的數學建模標準分析方法在一定程度上對于把握賽題內容和方向是十分有效的，對論文撰寫也有一定的指導意義。這個研究成果在一定程度上補充了當前數學建模競賽教育新的內容，也為建模競賽培訓工作指明了培訓方向，相信經過本研究成果的推廣，更多的學生能更快捷方便的進入到數學建模的邏輯思維中來，參賽水平也會有較高質量的提升。此外，問題分析的過程是一個十分復雜的過程，不同的問題要分析出不同的模型，這在本論文的標準方法中沒有體現 ，今后將繼續開展針對性研究，將數學建模方法更完善，更系統。

3 結語

本文在實踐中摸索出具有創新性數學建模競賽分析體系，該體系在教學實踐和學生競賽實踐中均表現出較強的實踐價值和實戰作用。該體系對當前數學建模競賽有重要指導意義，對其他學科競賽的創新實踐也具有一定的參考價值。