質點與球體間的萬有引力

陳小紅 羅琬華

（西南大學物理科學與技術學院 重慶 400715）

在萬有引力的學習中，經常會遇到類似如下的習題.

題目：設想把質量為m的小物體，放到地球的中心，地球的質量為M，半徑為R，則物體與地球間的萬有引力是

我們可以替他們推斷，當兩物體間的距離r趨近于零時，萬有引力F將趨近于無窮大，因此答案為選項B.

但是事實真的是這樣的嗎？

一般的，我們假設地球是一個質量均勻的球體，把一個質量為m的小球（小球看作質點）放在地球內部任意位置（距離地心r0處），地球質量為M，地球半徑為R，那么地球與該小球間的萬有引力是多少呢？

因為小球處于地球內部，所以不能夠直接利用萬有引力公式得出

因此，將地球從小球所在位置進行分割，看作一個半徑為r0的球體和剩余部分形成的球殼，如圖1所示.分別求解這兩部分對小球的萬有引力，然后再進行矢量求和.

圖1

1 球體對小球的萬有引力

球體仍然可以看作是一個質量均勻的球體，所以其質量可以表示為M0，則

由此可見，球體對小球之間的萬有引力與小球的質量m以及小球到地心的距離r0成正比的.

2 球殼對小球的萬有引力

如圖2所示，小球在球殼內部任意位置，過小球作一直線，小球將該直線分成兩段r1和r2.將直線偏轉一個非常小的θ角度，再沿順時針旋轉一周，則會形成兩個頂角為θ的對頂圓錐.在球殼上對應的會產生兩個圓面，可近似看成平面圓，面積分別為S1和S2.圓的半徑分別為x1，x2.

圖2

則可以求出S1和S2的質量m1和m2，有

可見F1和F2大小相等，因為S1和S2來自對頂圓錐，所以F1和F2的方向相反.因此F1和F2的合力為零.以此類推，整個球面可以看作是無數對這樣的圓面.因此可以得出這樣的結論：質量分布均勻的球殼對它內部的任意一個質點的萬有引力的合力為零.

3 地球對其內部可看成質點的小球的萬有引力

因為外部球殼與小球間的萬有引力為零，因此整個地球對小球的萬有引力可以表示為

綜上討論，我們可以得到兩點結論：

第一，如果將地球看作是一個均勻的球體，那么，地球和內部任意質點之間的萬有引力與該質點距地球中心的距離成正比.由此可以推斷，小球在靠近地心的過程中受到的萬有引力越來越小.

第二，一個質量均勻的球殼，其內部任意位置質點所受萬有引力為零.

回到文章開頭的例題中，小球位于地球中心，則r0＝0，F萬＝0.正確答案應該是C.

1 漆安慎，杜嬋英.力學.北京：高等教育出版社，2005.195

2 人民教育出版社課程教材研究所.高中物理·必修2.北京：人民教育出版社，2011.36