高考中的傳送帶問題

馬志偉

（衡水中學 河北 衡水 053000）

傳送帶模型是高中物理中比較成熟的模型，在高中物理中占有十分重要的地位，而高考中又經常涉及到此類問題.為此，筆者對傳送帶問題的求解方法進行了總結，現歸納如下.

1 水平傳送帶

【例1】水平傳送裝置如圖1所示，在載物臺左端給物塊一個初速度v0，當它通過如圖示方向轉動的傳送帶所用時間為t1.當皮帶輪改為與圖示相反的方向傳送時，通過傳送帶的時間為t2.當皮帶輪不轉動時，通過傳送帶的時間為t3，則

A.t1一定小于t2B.t2＞t3＞t1

C.可能有t3＝t2＝t1D.一定有t1＝t2＜t3

圖1

解析：傳送帶不動時，物塊做勻減速直線運動，傳到右端時間為t3，若傳送帶順時針轉，但物塊速度大于帶速時，物塊仍可能一直減速，則t1＝t3，同理傳送帶逆時轉，物塊傳到右端速度未減為零時t2＝t3，故應選C.

12成.兩輪軸心相距L＝8.0m，輪與傳送帶不打滑.現用此裝置運送一袋面粉，已知面粉袋與傳送帶間的動摩擦因數為μ＝0.4.面粉可不斷地從袋中滲出.（g＝10m／s2）

（1）當傳送帶以v0＝4.0m／s的速度勻速運動時，將這袋面粉由左端O2正上方的A點輕放在傳送帶上后，這袋面粉由A端運送到O1正上方的B端所用時間為多少？

（2）要想盡快將這袋面粉由A端送到B端（設袋的初速度仍為零），傳送帶的速度至少應為多大？

（3）由于面粉的滲漏，在運送這袋面粉的過程中會在深色傳送帶上留下白色的面粉的痕跡.這袋面粉在傳送帶上留下的痕跡最長能有多長（設袋的初速度仍為零）？此時傳送帶的速度至少應為多大？

圖2

解析：（1）設面粉袋的質量為m，其在與傳送帶產生相對滑動的過程中所受的摩擦力f＝μmg.

故而其加速度為

若傳送速帶的速度v帶＝4.0m／s，則面粉袋加速運動的時間為

在t1時間內的位移為

其后以v＝4.0m／s的速度做勻速運動

解得t2＝1.5s，運動的總時間為

（2）要想時間最短，m 應一直向B端做加速運動，由

可得

此時傳送帶的運轉速度為

（3）傳送帶的速度越大，“痕跡”越長.當面粉的痕跡布滿整條傳送帶時，痕跡達到最長.即痕跡長為

在面粉袋由A端運動到B端的時間內，傳送帶運轉的距離

又由第（2）問中已知

此時傳送帶的運轉速度為

2 傾斜傳送帶

【例3】如圖3所示，物塊M 在靜止的傳送帶上以速度v勻速下滑時，傳送帶突然啟動，方向如圖箭頭所示，若傳送帶的速度大小也為v，則傳送帶啟動后

A.M 靜止在傳送帶上

B.M 可能沿斜面向上運動

C.M 受到的摩擦力不變

D.M 下滑的速度不變

圖3

解析：物塊M 在靜止的傳送帶上勻速下滑，則Ff＝mgsinθ.當傳送帶突然啟動向上運動時物塊M 受到方向沿傳送帶向上的滑動摩擦力、重力和支持力.由前面條件可知著3個力的合力為零，所以物塊M的運動狀態不變，繼續以速度v勻速下滑.答案為選項C，D.

【例4】如圖4所示，傳送帶與地面成夾角θ＝30°，以10m／s的速度逆時針轉動，在傳送帶上端輕輕地放一個質量m＝0.5kg的物體，它與傳送帶間的動摩擦因數μ＝0.6，已知傳送帶從A到B的長度L＝16m，則物體從A到B需要的時間為多少？（g＝9.8m／s2）

圖4

解析：該題目的關鍵就是要分析好各階段物體所受摩擦力的大小和方向，μ＞tanθ＝，第二階段物體將和傳送帶相對靜止一起向下勻速運動.

物體放上傳送帶以后，開始一段時間，其運動加速度

這樣的加速度只能維持到物體的速度達到10 m／s為止，其對應的時間和位移分別為

以后物體受到的摩擦力變為沿傳送帶向上，其加速度大小為零（因為mgsinθ＜μmgcosθ）.

設物體完成剩余的位移s2所用的時間為t2，則

解得

所以

3 涉及能量的問題

求傳送帶對物體所做的功、物體和傳送帶由于相對滑動而產生的熱量、因放上物體而使電動機多消耗的電能等，常依據功能關系或能量守恒定律求解.

【例5】如圖5所示，繃緊的傳送帶與水平面的夾角θ＝30°，皮帶在電動機的帶動下，始終保持v0＝2m／s的速率運行.將一質量m＝10kg的工件（可看為質點）輕輕放在皮帶的底端A點，工件能被傳送到頂端B點.已知工件與皮帶間的動摩擦因數μ，A點與B點的高度差h＝2m，取g＝10m／s2.

求：因運送此工件，電動機需多消耗的電能E.

圖5

解析：

工件運動的加速度為

工件上升長度

工件能加速上升的總長度為

加速總時間為

加速時間為傳送帶移動距離為

工件摩擦產生的熱量為

電動機額外做的功為

【例6】如圖6所示，以A，B和C，D為斷點的兩半圓形光滑軌道固定于豎直平面內，一滑板靜止在光滑的地面上，左端緊靠B點，上表面所在平面與兩半圓分別相切于B，C兩點，一物塊（視為質點）被輕放在水平勻速運動的傳送帶上E點，運動到A點時剛好與傳送帶速度相同，然后經A點沿半圓軌道滑下，再經B點滑上滑板，滑板運動到C點時被牢固粘連.物塊可視為質點，質量為m，滑板質量為M＝2m，兩半圓半徑均為R，板長l＝6.5R，板右端到C點的距離L在R＜L＜5R范圍內取值，E點距A點的距離s＝5R，物塊與傳送帶、物塊與滑板間的動摩擦因數均為μ＝0.5，重力加速度g已知.

（1）求物塊滑到B點的速度大小；

（2）求物塊滑到B點時所受半圓軌道的支持力的大小；

（3）物塊在滑板上滑動過程中，當物塊與滑板達到共同速度時，測得它們的共同速度為v＝試討論物塊從滑上滑板到離開右端的過程中，克服摩擦力做的功Wf與L的關系；并判斷物塊能否滑到CD軌道的中點.

圖6

解析：（1）設物塊滑到B點的速度大小為vB，對物體從E到B過程，根據動能定理，得

解得

（2）物塊在B點時，根據牛頓第二定律，得

解得

（3）物塊從B滑上滑板后開始做勻速運動，此時滑板開始做勻速直線運動，當物塊與滑板達共同速度時，二者開始做勻速運動.由題意知它們的共同速度為

此過程，對物塊根據動能定理，得

解得 s1＝8R

此過程，對滑板根據動能定理，得

解得

由此可知物塊在滑板上滑過s1－s2＝6R時，二者就具有共同速度了.因為6R＜6.5R，所以物塊并沒有從滑板上滑下去.

討論：

（1）當R＜L＜2R時，物塊在滑板上一直做勻減速運動至右端，運動的位移為6.5R＋L，克服摩擦力做的功

設滑上C點的速度為vC，對物塊根據動能定理得

解得所以物塊不可能滑到CD軌道的中點.

（2）當2R≤L＜5R時，物塊的運動的勻減速運動8R，勻速運動L－2R，再勻減速運動0.5R，克服摩擦力做的功

解得

所以物塊不能滑到CD軌道的中點.

在求解傳送帶問題時，一定要看清題目給定的條件，具體問題具體分析，選擇恰當的方法進行解題，千萬不要盲目地亂套公式.