一種改進的動態灰色GM(1,1)模型在深基坑形變監測中的預測分析

李豪杰， 獨知行， 石 嫻， 趙曰耀， 張家威

(山東科技大學測繪科學與工程學院， 青島 266590)

地鐵深基坑的形變監測易受到周邊高層建筑、道路及基坑自身荷載的影響，沉降波動較大，傳統GM(1,1)模型主要對具有強烈指數規律的單調序列預測效果明顯，這給深基坑沉降的后續預測增加了難度，為確保工程安全穩定運行，采用合適的模型改進方法顯得尤為重要[1-3]。蔣詩泉等[4]提出應用數值積分思想提高模型參數精度，即通過復化梯形公式對傳統GM(1,1)模型背景值進行優化，經算例分析驗證了優化后模型對于背景值誤差的修正作用；張貴鋼等[5]通過權衡信息的時效性，構建了動態GM(1,1)模型，并且通過殘差改進，進一步提高了預測值的精度；徐旭等[6]直接從灰色系統理論出發，對非等時距觀測值進行變換處理，并在傳統模型基礎上結合殘差GM(1,1)模型，證明了改進方法在高層建筑沉降的可行性。以上模型僅進行了一種或兩種方法的改進，且在背景值優化時梯形公式的高次插值會出現Runge現象，得到的預測結果均有待提高。鑒于此，本文以某地鐵深基坑工程為例，利用復化Simpson3/8公式優化背景值，同時兼顧新信息的權重和預測殘差值，建立了基于背景值優化和殘差改進的動態GM(1,1)模型，開展基坑沉降預測研究，取得了良好的實驗結果。

1 傳統的灰色GM(1,1)模型

1.1 模型構建原理

根據最小二乘原理，解上述微分方程可得：[a,b]T=(BTB)-1BTY,式中：

(1)

則預測值關于時間序列的映射函數即為白化方程的解：

(2)

最后通過累減實現序列還原，預測公式為

(3)

1.2 模型精度評定

為了保證模型預測分析的可靠性，必須對構建的模型進行評價，一般采用后驗差檢驗法[9]。

對于評定構建出模型的好壞，主要看C和P，總體來說，C越小越好，P越大越好，具體的精度評定標準如表1所示[10]。

表1 模型精度檢驗標準

2 改進后的動態GM(1,1)模型

2.1 背景值的優化

灰色GM(1,1)模型預測精度主要取決于參數a、b，而a、b的取值依賴于背景值的構造形式，因此，背景值的構造公式直接影響到模型的預測精度[11]。采用的復化Simpson3/8公式進行優化，即在區間[k,k+1]上選取系列等距分點作為插值節點，利用函數逼近的思想求解背景值。

(4)

B=lnx(0)(k+1)-lnx(0)(k)

(5)

(6)

則稱x(1)(t)=AeBt+C，(t≥1)為累加序列的預測模型。

記積分區間[k,k+1]=[a，b]，將區間分成n等份，步長h=(b-a)/n，等距分點tk=a+kh，當n=3時，相應的Simpson3/8插值求積公式如下：

(7)

若將每個子區間[tk,tk+1]劃分為3等份，內分節點依次記作tk+1/3、tk+2/3，則復化Simpson 3/8公式即為區間[a,b]內的背景值z(1)(b)：

(8)

選定區間劃分的份數n后，計算每個子區間的內分節點對應的累加值，再應用式(8)，得到優化后的背景值。相比較傳統的算術均值、復化梯形公式，復化Simpson 3/8公式將積分子區間更加細化，對于區域內積分面積的把握更加準確，進而改善了背景值的求積精度。

2.2 動態GM(1,1)模型原理

傳統的GM(1,1)模型本質上是指數函數，預測值隨時間的增加呈單調遞增的變化。在形變監測中，被監測建筑物往往處于一個波動起伏的動態系統中，此時若直接采用傳統的GM(1,1)模型進行長期預測，預測值將隨時間得增加誤差不斷增大，精度不斷降低[12]。因此需要在預測中加重新信息的權重，即實時引入新的監測信息，淘汰時序相距較遠的監測信息，這樣改進后的動態 GM(1,1)模型能夠比較準確地反映系統的變化狀況，從而有效提高形變預測的精度。

利用動態灰色模型進行預測時，要確定好模型的維度，即構建傳統模型時的總期數n。首先通過傳統的GM(1,1)模型預測得到t=n+1時刻的沉降；再引入實測中t=n+1時刻的沉降x(0)(n+1)，同時去掉原始序列中的x(0)(1)，構建n維動態GM(1,1)模型序列X(0)={x(0)(2),x(0)(3),…,x(0)(n+1)}，得到新的GM(1,1)模型，進而預測t=n+2時刻的沉降值x(0)(n+2)。以此類推，逐個預測，得到實時更新的沉降預測值。

2.3 灰色模型的殘差改正

為了達到更好的預測效果，采用n期殘差序列作為原始觀測數據，構建殘差GM(1,1)模型，預測t=n+1時刻的殘差值，并結合原來的預測模型進行修正。其改進措施如下：

利用殘差原始序列建模：

(9)

聯立原模型，構建殘差改進后的GM(1,1)模型：

(10)

3 實例分析

該工程主要是對某地鐵車站深基坑進行地表沉降監測，在主體基坑施工過程中，圍護樁受到自身軸力、樁頂水平位移、樁體水平位移影響，觀測數據浮動較大。為了更好預測工程后續的沉降變化，保證車站長期運營和后續維護，從背景值、動態序列、殘差值三個方面出發，對模型逐步改進，并將預測值與實測值進行比對分析。現選取沉降觀測中較為典型的點位，同時為了確保初始序列呈等時距，選擇14期月初的觀測數據進行計算分析。利用1～4期沉降觀測值構建傳統的GM(1,1)模型，得到的時間響應關系式為

(11)

根據2.1中的定理，通過優化背景值來改進模型求解，優化過程大致為①計算原始序列累加值AGO，將每個區間二等分；②在區間[1,2]內計算累加序列模型x(1)(t)=AeBt+C，并求出各內分節點值；③應用復化Simpson3/8插值求積公式求解改進的背景值z(1)(2)。

以此類推，得出各個區間改進后背景值，構成新的背景值序列Z(1)={z(1)(2),z(1)(3),…,z(1)(n)}。選擇前4期沉降數據構建背景值優化GM(1,1)模型，得到優化后的模型關系式為

22.878 1

(12)

兩種模型的構建結果如表2所示。

表2 構建傳統GM(1,1)模型與背景值優化的GM(1,1)模型

結合表1、表2，選擇1-4期觀測值構建的傳統模型精度為合格，背景值優化的模型精度為優秀。相比于傳統模型，背景值優化的模型將構建精度提升兩個等級，改善效果明顯。由此可見，本文提出的基于復化Simpson3/8公式構建的模型對于波動性較大的數據更具適應性。

根據表2，兩種模型均可以進行進一步的預測分析，得到的結果如表3所示。

可見隨著時序的增加，實測值離散速度變快，傳統模型的預測值與實測值出現較大的偏差，模型整體的預測精度降低。通過優化背景值建立的新預測模型，每一期的相對誤差均有改善，但是后期得到的預測值仍不理想，進而考慮在此基礎上構建動態優化模型。

通過實時更新觀測數據，構建動態GM(1,1)模型，即利用前4期數據建模，預測第5期數據，然后用第5期數據取代第1期數據重新建模，預測第6期數據，以此類推，得到動態預測序列。同時，考慮到殘差對預測值的影響，以動態GM(1,1)模型預測值殘差為原始序列，構建殘差GM(1,1)模型：

(13)

經殘差、背景值改進，可以求得動態GM(1,1)模型時間響應函數式為

(14)

代入計算每一期的預測值，分析比較改進后模型的優越性，結果如表4所示。

表3 傳統GM(1,1)模型與背景值優化的GM(1,1)模型預測結果

表4 經背景值優化的動態GM(1,1)模型與經殘差、背景值改進的動態GM(1,1)模型預測結果

根據表4，經背景值優化的動態GM(1,1)模型的平均相對誤差為6.646%，經殘差、背景值改進的動態GM(1,1)模型的平均相對誤差僅為3.047%。對比表3結果，動態改進后的模型每一期相對誤差均明顯減小，其中通過殘差改進，預測值精度更高，與實測值更為吻合。利用預測值繪制擬合曲線，如圖1所示。

圖1 傳統模型和改進后模型預測值比較Fig.1 Comparison of traditional models and improved model predictions

由圖1可以看出，觀測期間原始數據的波動起伏較大。從第10期觀測開始，觀測值逐漸趨于穩定，傳統GM(1,1)模型和背景值優化的GM(1,1)模型仍保持單調上升的趨勢，與實測值差距越來越大。基于殘差、背景值優化的動態GM(1,1)模型始終隨著觀測數據的變化而變化，且二者的數值十分接近。

4 結論

在傳統GM(1,1)模型基礎上，利用復化Simpson3/8公式優化背景值，進而改善了模型的整體精度，這在模型構建中體現較為明顯，但隨著期數的增加，預測值與實測值間出現較大的偏差。通過構建背景值優化的動態GM(1,1)模型，可將預測精度提高23.405%，預測值與實測值趨勢更加吻合。考慮到在新舊信息迭代過程中不可避免會累積一些觀測值偶然誤差，為此進行的殘差改進可將模型預測精度再次提高3.239%。因此，基于背景值優化、殘差改進的動態GM(1,1)模型精度更高，更具適用性，繼而可以作為該工程的預測模型來進行后續的研究分析。