回歸分析中若干獨立性的證明

2020-11-09 02:36:34易景平蔡定教

安陽師范學院學報 2020年5期

易景平，蔡定教

(1.安陽師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，河南安陽 455000；2.河南財經(jīng)政法大學數(shù)學與信息科學學院，河南鄭州 450046)

0 引言

正態(tài)線性回歸模型

y=Xβ+e,e～N(0,σ2I)

中關于未知參數(shù)向量的一般線性假設

H:Aβ=b

檢驗問題中的檢驗統(tǒng)計量為

其中RSS為殘差平方和,RSSH為約束條件下的殘差平方和。其證明涉及到RSSH-RSS與RSS的獨立性，一般的教材證明中利用了“ξ與η獨立且ξ與ζ獨立，則ξ與η+ζ獨立”這一結論。雖然這一結論在很多情形下是成立的, 但利用文獻[1]中的伯恩斯坦反例不難舉例說明ξ與η獨立且ξ與ζ獨立并不蘊含ξ與η+ζ獨立，本文將避開這一前提對RSSH-RSS與RSS的獨立性加以嚴格的證明。利用相同的思路證明擬合值向量與學生化殘差的獨立性，并在最后給出一個判定兩個向量獨立性的充分性條件。

1 RSSH-RSS與RSS的獨立性

這里我們假設設計陣X為列滿秩矩陣，利用殘差平方和的定義可得

=y′(I-X(X′X)-1X′)y

=e′(I-X(X′X)-1X′)e

=e′Ne

其中N=I-X(X′X)-1X′為對稱冪等陣。在約束條件

H:Aβ=b(這里假設A為行滿秩矩陣)

之下, 由文獻[2]知未知參數(shù)向量β的約束最小二乘估計為

從而約束條件下的殘差平方和為

由于

=AX(X′X)-1X′e+(Aβ-b),故

RSSH-RSS

=e′X(X′X)-1A′(A(X′X)-1A′)-1AX(X′X)-1X′e

+2(Aβ-b)′(A(X′X)-1A′)-1AX(X′X)-1X′e

+(Aβ-b)′(A(X′X)-1A′)-1(Aβ-b))

=e′Me+a′e+c

其中

M=X(X′X)-1A′(A(X′X)-1A′)-1AX(X′X)-1X′

a′=2(Aβ-b)′(A(X′X)-1A′)-1AX(X′X)-1X′

c=(Aβ-b)′(A(X′X)-1A′)-1(Aβ-b)

易知M、N為對稱陣且MN=0，從而NM=0，故有MN=NM,即M、N可交換。由文獻[3]知可用一個正交陣Φ將M,N同時正交對角化, 即存在正交陣Φ使得

這里,

其中ai≠0，i=1,2,…,r；bj≠0,j=1,2,…,s；r+s≤n。

又a′N=0, 故a′ΦΦ′NΦ=0。令a′Φ=(c1,c2), 其中c1為1×r行向量, 則有c1Λ1=0,可得c1=0。由假設我們有e～N(0,σ2In), 這里不妨設σ2=1。令Y=Φ′e, 由文獻[4]或文獻[5]知Y～N(0,In), 記Y=(Y1,Y2,…,Yn)′, 則Y1,Y2,…,Yn相互獨立。由

分析：從分子機制上看，水稻的抗病反應需要水稻自身抗病蛋白(R系列)與MP蛋白(A系列)相匹配，進而結合，才能被激活。所以被a1a1A2A2a3a3的MP侵染后，只有 R2R2 類型的抗病反應才能被激活(圖2)。因此，R1 R1r2r2R3R3和r1 r1R2R2R3R3分別表現(xiàn)為感病和抗病。