《16.3 二次根式的加減（2）》教學(xué)設(shè)計(jì)

雷娟

【摘要】在2020年初因疫情原因，筆者所在地區(qū)的線下教學(xué)改為線上教學(xué)，筆者積極響應(yīng)區(qū)教育部門的任務(wù)安排，在2020年3月廣東省“粵課堂”越秀區(qū)“空中課堂”全區(qū)公開課——八下數(shù)學(xué)人教版《16.3 二次根式的加減（2）》，教學(xué)設(shè)計(jì)具體如下。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué) ? 教學(xué)設(shè)計(jì)

【中圖分類號(hào)】G633.6【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A【文章編號(hào)】1992-7711（2020）28-171-01

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.熟練應(yīng)用二次根式的加減乘除法法則及乘法公式;

2.會(huì)進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算。

【重點(diǎn)難點(diǎn)】

重點(diǎn)：二次根式混合運(yùn)算的法則，二次根式的運(yùn)算順序，運(yùn)算律的使用;

難點(diǎn)：能夠快速準(zhǔn)確地進(jìn)行二次根式混合運(yùn)算。

【學(xué)習(xí)過(guò)程】

一、溫故知新

（一）二次根式的乘法除法加減法知識(shí)點(diǎn)回顧

（1）二次根式的乘法法則是：

（2）二次根式的除法法則是：

（3）二次根式的加減法方法是：

（二）整式的計(jì)算法則回顧

（4）整式單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則：

（5）整式多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則：

（6）整式多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則：

思考：把字母用二次根式代替，會(huì)如何？整式運(yùn)算中的字母，它的意義十分廣泛，可以代表所有一切，當(dāng)然也可以代表二次根式，所以，整式中的計(jì)算法則也適用于二次根式。

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)溫故知新，復(fù)習(xí)二次根式的乘法除法加減法知識(shí)點(diǎn)和整式的計(jì)算法則，為接下來(lái)把整式運(yùn)算法則過(guò)渡到二次根式的運(yùn)算打下基礎(chǔ)，以舊帶新，讓學(xué)生更容易接受新授知識(shí)。

二、探究新知

知識(shí)點(diǎn)1.二次根式的混合運(yùn)算

例1.計(jì)算：

（1）（ 8 + 3）× 6 ; ? ? （2）（4 ?2 - 3 ?6）÷2 ?2 ;

【設(shè)計(jì)意圖】 分析題意可知，把二次根式看成“項(xiàng)”，就可類比整式運(yùn)算。

（1）根據(jù)多項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的法則，用 ?6乘以括號(hào)里的每一項(xiàng)，再把積相加;

（2）根據(jù)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則，用括號(hào)里的每一項(xiàng)除以2 2，再把商相加.特別要提醒學(xué)生，結(jié)果要化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)根式。

練習(xí)1：（1）（ 2 + 3）× 5 ;（2）（80 + 40）÷ 5

例2.計(jì)算： （ 2 + 3）（ 2 -5）

【設(shè)計(jì)意圖】分析題意可知，在二次根式的運(yùn)算中，多項(xiàng)式乘法法則仍然適用。根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的方法計(jì)算，用第一個(gè)括號(hào)里的每一項(xiàng)與第二個(gè)括號(hào)里的每一項(xiàng)相乘，再把積相加，學(xué)生把這個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)抓住，這一類題目迎刃而解。

練習(xí)2：計(jì)算

1）（ 6 - 3）（ 2 + 3）

2）3（ 8 ?+ ?50）- ?30÷ 45

【設(shè)計(jì)意圖】 分析題意可知，類比于有理數(shù)混合運(yùn)算順序，二次根式混合運(yùn)算順序是，先乘方開方，后乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的。

歸納小結(jié)：二次根式的混合運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)：

1）

2）

3）

知識(shí)點(diǎn)2：利用乘法公式計(jì)算二次根式

溫故知新：整式的乘法公式：

① ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ②

例3.計(jì)算：（1）（ 5 + 3）（ 5 - 3）（2）（ 3 +2）2

【設(shè)計(jì)意圖】（1）可使用“平方差公式”（a+b）（a-b）=a2-b2.（2）可使用“完全平方公式”（a+b）2=a2+2ab+b2 .因式分解部分的完全平方公式和平方差公式廣泛運(yùn)用于二次根式的計(jì)算和化簡(jiǎn)。

練習(xí)3：計(jì)算

（1）（2 2-3）2016×（2 2+3）2016

（2）（2- 3）2015（2+ 3）2017-2×|- ? ?|.

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生巧妙使用公式巧算，大大降低難度和計(jì)算量，讓學(xué)生領(lǐng)略到數(shù)學(xué)的巧算之美——（1）整式運(yùn)算冪的乘方公式的逆用公式anbn=（ab）n也適用于二次根式計(jì)算。（2）整式運(yùn)算同底數(shù)冪的乘法公式的逆用公式an+m = anam也適用于二次根式計(jì)算。

例4 已知x= 3 +1 ?且 y = 3 -1，試求x2+2xy+y2的值.

【設(shè)計(jì)意圖】分析題意可知，求代數(shù)式的值，通常要先化簡(jiǎn)。一種是化簡(jiǎn)已知條件;一種是化簡(jiǎn)所求的代數(shù)式，學(xué)生容易聯(lián)想到完全平方公式，問(wèn)題就迎刃而解。

練習(xí)4： 已知x = ?3 - 2 且 y = ?3 + 2 ?，試求x3y + xy3 ?的值。

【設(shè)計(jì)意圖】分析題意可知，可先化簡(jiǎn)所求的代數(shù)式，學(xué)生容易聯(lián)想到提公因式法。

三、課堂練習(xí)

四、課堂小結(jié)

1.二次根式的運(yùn)算順序：

;

2.乘法公式：（1） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，（2） ? ? ? ? ? ? ? ? ;

課后反思：本課的主要內(nèi)容是二次根式的混合運(yùn)算，首先復(fù)習(xí)了二次根式的加減法則以及乘除法則，有利于學(xué)生順利學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容。

本節(jié)課有兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，一是把二次根式類比為“項(xiàng)”，利用整式的運(yùn)算法則（單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，平方差公式，完全平方公式等），遷移類比到二次根式的運(yùn)算，讓學(xué)生容易上手;二是二次根式的混合運(yùn)算法則類比于有理數(shù)的混合運(yùn)算法則，先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，如果有括號(hào)就先算括號(hào)里面的.抓住這兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，以舊帶新，學(xué)生很容易上手。

本節(jié)課有幾個(gè)注意點(diǎn)，一是結(jié)果注意要化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)二次根式，二是引導(dǎo)學(xué)生利用乘法公式巧算——公式anbn=（ab）n， an+m = anam等。

以上是筆者疫情期間線上教學(xué)的新嘗試，希望可以給其他老師一點(diǎn)啟發(fā)和借鑒。

【基金項(xiàng)目：本文為2019年度廣州市教育科學(xué)規(guī)劃課題《大數(shù)據(jù)環(huán)境下個(gè)性化作業(yè)高效性研究》（課題編號(hào)：201912034）的階段性成果之一。】