基于網絡畫板應用的雙曲線的簡單幾何性質教學設計

彭艷梅　侯小華

摘? 要 網絡畫板功能完善，操作便捷，可以為學生提供直觀的感知，解決許多數學教學中的難題，有利于學生的學習。利用網絡畫板進行“雙曲線的簡單幾何性質”的教學，可以使得教學更加直觀，幫助學生更好地理解和掌握有關知識內容。

關鍵詞 網絡畫板;高中數學;雙曲線的簡單幾何性質

中圖分類號：G633.6? ? 文獻標識碼：B

文章編號：1671-489X（2020）15-0040-03

1 前言

網絡畫板是由張景中院士和其團隊在超級畫板的基礎上開發的國內第一款互聯網環境下的理科教學工具。網絡畫板具有支持多終端、跨平臺、操作方便、儲存安全等特點，其智能畫筆作圖方便快捷，功能也更加完善，可以進行動態演示、計算和任意移動等[1]。網絡畫板可以讓抽象的知識變得更加直觀，計算更加準確，有效確保數學的嚴謹性。因此，網絡畫板受到越來越多數學教師的喜愛，在中學教學中應用日趨廣泛。

“雙曲線的簡單幾何性質”從幾何和代數兩方面研究雙曲線的范圍、對稱性、離心率等內容。有的內容比較抽象，學生難以直觀感知，容易與橢圓的簡單幾何性質混淆。在教學過程中利用網絡畫板，一方面，教師可以讓學生直觀地理解知識的產生過程;另一方面，學生通過動手演示或者觀察教師的演示，可以對知識產生深刻印象，從而能夠很好地理解和掌握“雙曲線的簡單幾何性質”。

2 教學過程

回顧舊知? 讓學生簡單回顧雙曲線的標準方程和橢圓的簡單幾何性質后，引出本節課的課題——“雙曲線的簡單幾何性質”。

探究雙曲線的范圍? 問題：觀察雙曲線，我們可以知道它的范圍，同學們能否從代數的角度出發，得到雙曲線的范圍？學生通過將雙曲線標準方程化為，知，即x2≥a2，所以，雙曲線變量x的取值范圍是x≥a或x≤-a。隨后，教師借助網絡畫板做動態演示，將a作為變量，取值從1～6，讓學生觀察當a變化時，雙曲線的范圍也隨a變化。

探究雙曲線的對稱性? 問題：我們從雙曲線的圖像可以知道它是個對稱圖形，同學們能否試著類比研究橢圓對稱性的方式，得到雙曲線的對稱性？學生討論后得到：雙曲線是關于x軸、y軸和原點對稱的。以關于x軸為例，在雙曲線上任取一點A（x，y），那么關于x軸的對稱點為A′（x，-y），也滿足雙曲線的標準方程，因此，雙曲線關于x軸對稱。用同樣的方法可以證明雙曲線關于y軸和關于原點對稱。

教師再用網絡畫板進行驗證：任取雙曲線上的一點，將A作為雙曲線上的半自由點，以x軸為對稱軸，以A為對稱中心，讓A在雙曲線上運動，可以看到A的對稱點A′也在雙曲線上。用同樣的方式可以驗證雙曲線關于y軸和原點對稱（圖1）。

探究雙曲線的頂點? 問題：以焦點在x軸為例，類比橢圓探究頂點的方式，同學們能否從代數角度求得雙曲線的頂點？學生通過計算得到：令y=0，得x=±a，因此，雙曲線與x軸有兩個交點A1（-a，0），A2（a，0）。但是，令x=0，得y2=-b2，這個方程沒有實數根，說明雙曲線和y軸沒有交點。

探究雙曲線的漸近線

問題1：在作的圖像時，同學們遇到了什么問題？學生列表描點后發現：頂點和附近的點能夠準確地畫出來，但是當雙曲線向遠處延伸時，就不能準確地畫出。

問題2：同學們能通過對進行變形得到它的漸近線嗎？通過教師引導得到：以第一象限為例，變形得到，即，也就是說雙曲線的圖像恒在直線的下方，且永不相交。根據雙曲線的對稱性，得到雙曲線與直線無限接近，也就是說是雙曲線的漸近線。

此時，教師利用網絡畫板驗證：作出雙曲線1和的圖像;在第一象限內取雙曲線的一點A，過A做直線的垂線，垂足為B;連接線段AB，計算線段AB的長度;讓A在第一象限運動，發現當A向右上方運動時，線段AB無限接近于0，但永遠不等于0（圖2）。

問題3：同學們能得到雙曲線的漸近線是什么嗎？教師引導學生觀察漸近線與a，b的關系，得到雙曲線的漸近線是直線。并且，教師可以將a、b作為變量，利用網絡畫板進行動態驗證。

問題4：同學們能試著證明雙曲線的漸近線是嗎？學生討論后，得到：以第一象限為例，設D（x，y）是雙曲線第一象限內的點，那么D到直線的距離。當x逐漸增大時，就逐漸減少并且無限接近于零，也就是點D無限接近于直線[2]。同理，其他象限內也可得到結論：直線是雙曲線的漸近線。

探究雙曲線的離心率

問題1：觀察雙曲線，，的圖像，這三個圖像在形狀上有什么不同？教師通過網絡畫板作出相應的圖像，學生通過對比得到：圖像越來越扁。

問題2：那么雙曲線的圖像受什么影響呢？教師利用網絡畫板引導學生探究：首先，固定b=2，將a作為變量，取值范圍為1～6，作出雙曲線圖像，同時改變a的大小，讓學生觀察雙曲線的形狀隨a的變化情況;其次，固定a=3，將b作為變量，取值范圍為1～6，作出雙曲線圖像，同時改變b的大小，讓學生觀察雙曲線的形狀隨b的改變情況（分別如圖3、圖4所示）。學生通過觀察得到：當a變大時，雙曲線越來越扁;當b變大時，雙曲線越來越寬。

問題3：a、b都能影響雙曲線的形狀，那么能否統一用同一個式子表示呢？教師引導學生類比探究橢圓離心率的表示方式，得到：可以用b/a的比值來表示。教師利用網絡畫板給學生直觀感知：將a、b作為變量，取值范圍都為1～6，計算b/a的值，觀察b/a的值對雙曲線形狀的影響。

問題4：c/a和c/b的值對雙曲線的形狀有怎樣的影響呢？教師通過網絡畫板演示：首先，將a，c作為變量，a的取值為1～6，c的取值為2～8，計算c/a值，在改變a，c值的時候要保證c>a，讓學生觀察c/a的值對雙曲線形狀的影響;其次，將b，c作為變量，b的取值為1～6，c的取值為2～8，計算c/b的值，在改變b，c值的時候要保證c>b，讓學生觀察c/b的值對雙曲線形狀的影響（圖5）。

學生通過觀察得到：c/a越大，雙曲線越寬;c/a越小，雙曲線越扁;c/b越大，雙曲線越扁;c/b越小，雙曲線越寬。

問題5：既然這些比值都可以決定雙曲線的扁平程度，為什么用c/a來表示離心率呢？教師啟發學生得到：因為a、c是初始量，而且c/a可以形象地理解為焦點離開中心的程度，所以把c/a叫作離心率;并且通過雙曲線的標準方程可知，雙曲線的離心率c/a>1，而橢圓的離心率c/a<1，這是這兩個圓錐曲線的不同點之一。

3 教學反思

“雙曲線的簡單幾何性質”是高中圓錐曲線內容的重難點，與“橢圓的簡單幾何性質”有許多相似之處，很多學生容易對這兩部分內容產生混淆。因此，在教學中充分講清楚每個知識點是十分關鍵的。數形結合是學習數學的重要方法，在學習“雙曲線的簡單幾何性質”時，借助網絡畫板利用數形結合的方法可以很好地給予學生直觀感知，有利于學生的理解。

在“雙曲線的簡單幾何性質”教學中，利用網絡畫板對學生得到的猜想或者結論進行驗證，從代數方面培養學生的邏輯推理能力，從幾何方面給學生直觀的感知，加深學生的理解。例如，雖然學生能夠從代數的角度證明雙曲線的對稱性，得到雙曲線的漸近線，但是利用網絡畫板的動態功能能夠給學生直觀的感知，對他們的理解、記憶能起到很好的促進作用。

在“雙曲線的簡單幾何性質”教學中，利用網絡畫板引導學生探究，發現數學規律。離心率這部分內容是學生學習的一個重難點，容易與橢圓的離心率混淆。在教學過程中以網絡畫板作為幫助學生探討雙曲線形狀的工具，能夠讓學生直觀地感知a、b、c以及它們的比值對雙曲線形狀的影響，有助于學生的理解。

參考文獻

[1]馬夢榮，雍進軍，張加林，等.網絡畫板在中學數學教學中的應用[J].貴州師范學院學報，2018（12）：80-84.

[2]陳榮桂，王建鵬.體現高中數學教育價值的《雙曲線的漸近線探究》教學設計[J].數學教育研究，2015（5）：35-38.

*基金項目：山東省研究生導師指導能力提升項目（課題編號SDYY18139）。

作者：彭艷梅，魯東大學數學與統計科學學院學科教學（數學）專業，在讀教育碩士;侯小華，魯東大學教師教育學院，副教授，研究方向為數學教育信息技術（264025）。