如何在高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)中培養(yǎng)學(xué)生的審題能力

張強(qiáng)

[摘? 要] 學(xué)生面對新穎問題束手無策、忘記分類討論、忽略隱含條件、答而不全等現(xiàn)象在歷年高考中屢見不鮮，教師在高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)階段一定要側(cè)重審題教學(xué)，幫助學(xué)生學(xué)會“三審”“三挖”“三思”，并因此提升學(xué)生的解題準(zhǔn)確率.

[關(guān)鍵詞] 審題能力;深思辨誤;遷移轉(zhuǎn)化;挖掘內(nèi)涵

身經(jīng)百戰(zhàn)的高三學(xué)生在最后的高考中總會發(fā)生一些令人意外的解題錯(cuò)誤，面對新穎問題束手無策、忘記分類討論、忽略隱含條件、答而不全等現(xiàn)象屢見不鮮. 造成這些錯(cuò)誤現(xiàn)象的一個(gè)重要原因就是學(xué)生的審題能力不足.作為解題開端的審題環(huán)節(jié)也是解題的關(guān)鍵，一些高三數(shù)學(xué)教師在識題、認(rèn)題、審題教學(xué)環(huán)節(jié)上的忽視導(dǎo)致了很多解題錯(cuò)誤的發(fā)生. 教師在高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)階段一定要側(cè)重審題教學(xué)，幫助學(xué)生學(xué)會“三審”“三挖”“三思”，并因此提升學(xué)生的解題準(zhǔn)確率.

“三審”包含了審命題含意、審關(guān)鍵詞句、審縱橫聯(lián)系這三個(gè)方面的內(nèi)容.“三挖”包含了挖參數(shù)所含的制約條件、挖問題中的隱含條件、挖解題突破口這三個(gè)方面的內(nèi)容. “三思”則包含了思考查的知識范疇、思考查的思想方法、思解題規(guī)范性標(biāo)準(zhǔn)與要求這三方面的內(nèi)容. 學(xué)生在審題中自覺做到“三審”“三挖”“三思”能幫助其有效減少常規(guī)性錯(cuò)誤.

那么高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)中又應(yīng)該怎樣落實(shí)審題教學(xué)呢？筆者結(jié)合以下案例進(jìn)行一一闡述.

深思辨誤

很多數(shù)學(xué)高考題在表述上表現(xiàn)得尤其新穎靈活，煩瑣的計(jì)算或推理在此類題目并無立足之地，學(xué)生只要真正理解題中涉及的概念就能很好解題，因此審題中進(jìn)行仔細(xì)的辨誤深思和理解是必須的.

案例1：設(shè)函數(shù)y=lg（ax2+2x+a），其中a∈R.

（1）若f（x）的定義域是R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍如何？

（2）若f（x）的值域是R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍如何？

（3）若f（x）在[-1，+∞）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍如何？

筆者在教學(xué)時(shí)有意識地將上述三個(gè)問題組合成了題組，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深思辨誤并完善已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)以促進(jìn)其思維深刻性的發(fā)展.

上述三個(gè)問題的題意清楚，學(xué)生在審題時(shí)應(yīng)看清隱含條件并正確理解題意.

第一問：定義域是R表達(dá)了什么意思？這對于學(xué)生來說很簡單，定義域是R也就意味著，當(dāng)x取遍一切實(shí)數(shù)時(shí)其真數(shù)恒為整數(shù). 學(xué)生很快想到，令ax2+2x+a>0恒成立，則a>0，Δ<0？圯a>1.

第二問：f（x）的值域是R表達(dá)了什么意思？在筆者的多次試驗(yàn)中，學(xué)生在此問上基本都會犯一樣的錯(cuò)誤.很多學(xué)生并不認(rèn)為第一問和第二問是有差別的，這正是審題教學(xué)中值得學(xué)生辨思的地方，事實(shí)上，值域是R意味著該真數(shù)能取到所有正實(shí)數(shù)，那么真數(shù)又在什么時(shí)候能夠取到所有正數(shù)呢？學(xué)生錯(cuò)解一般如下：a>0，Δ≥0？圯0

第三問：怎么做能令f（x）在[-1，+∞）上遞增？學(xué)生很清楚，設(shè)t=ax2+2x+a，則y=lgt. 因?yàn)閥=lgt為增函數(shù)，因此要使y=lg（ax2+2x+a）在[-1，+∞）上遞增，只需t=ax2+2x+a在[-1，+∞）上遞增，因此只要二次函數(shù)t=ax2+2x+a開口向上，對稱軸小于或等于-1即可.

所以a>0，-■≤-1，即a>0，0

這一解法是不對的，請學(xué)生在反思中重新審題并探究錯(cuò)因，學(xué)生辨誤深思并挖掘隱含條件后很快發(fā)現(xiàn)，字母系數(shù)a∈R，因此前兩問應(yīng)對a是否為零進(jìn)行討論. 而第三問的解決又必須對“單調(diào)區(qū)間必須為定義域的子集”這一隱含條件進(jìn)行挖掘.

遷移轉(zhuǎn)化

很多高考試題粗看時(shí)便能看到其中的知識點(diǎn)，但聯(lián)系這一知識點(diǎn)解題卻又很難，而且解題時(shí)并不需要什么特殊技巧，這類題是對學(xué)生知識遷移轉(zhuǎn)化能力的考查，學(xué)生必須在審題中展開聯(lián)想并進(jìn)行轉(zhuǎn)化、化歸，由此順利實(shí)現(xiàn)解題.

案例2：已知a>0，a≠1，函數(shù)f（x）=loga（x-ak）-loga2（x2-a2）至少有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍如何？

在此題的審題教學(xué)中可以設(shè)置如下問題：

（1）“函數(shù)f（x）至少有一個(gè)零點(diǎn)”應(yīng)怎樣轉(zhuǎn)化？

（2）底數(shù)a和a2應(yīng)怎樣統(tǒng)一？

（3）可以在命題的表述中挖掘到哪些隱含條件？

引導(dǎo)學(xué)生展開聯(lián)想并進(jìn)行解題突破的探索，使學(xué)生在開辟解題途徑的過程中發(fā)現(xiàn)以下轉(zhuǎn)化方法.

解法1：f（x）有零點(diǎn)，即方程loga（x-ak）-loga2（x2-a2）=0有解，即x-ak>0，x2-a2>0，loga（x-ak）=loga2（x2-a2），？圳x-ak>0，x2-a2>0，（x-ak）2=x2-a2，？圳x>ak，2kx=a（1+k2），a>0且a≠1.

當(dāng)k=0時(shí)，解集是■.

當(dāng)k≠0時(shí)，x=■>ak？圯■>k？圳k<-1，或0

滿足x>a，或x<-a.

因此k的取值范圍為（-∞，-1）∪（0，1）.

解法2：函數(shù)f（x）有零點(diǎn)，即方程loga（x-ak）=loga■有解，即x-ak>0，x-ak=■，有解，問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)y=x-ak（x>ak）和y=■（x≠±a）的圖像有交點(diǎn)，觀察圖1可知，有解的條件為ak<-a，或0

■挖掘內(nèi)涵

從數(shù)學(xué)學(xué)科整體知識結(jié)構(gòu)與思想體系所設(shè)計(jì)的一些高考試題往往深含數(shù)學(xué)內(nèi)涵，審題時(shí)必須從多角度挖掘命題的內(nèi)涵，由此尋得正確的解題方向.

案例3：已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=■，an+1=■，n∈N*.

（1）求{an}的通項(xiàng)公式;

（2）證明：a1+a2+…+an>■.

學(xué)生基本上都會從條件an+1=■入手進(jìn)行轉(zhuǎn)化并解決第一問，化成■=■+■后展開聯(lián)想，把上式轉(zhuǎn)化成下述形式：■-■=2·3n或■-1=■·■-1，求得an=■.

學(xué)生在第二問的思考中會先求和a1+a2+…+an，然后證明，有的學(xué)生會聯(lián)想數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行. 但這兩種方法都顯示出了較強(qiáng)的技巧性與難度，因此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生對命題的內(nèi)涵進(jìn)行深入挖掘并揭示其本質(zhì)，繼而獲得更為簡捷的方法. 設(shè)問：左右兩邊分別是什么？（{an}的前n項(xiàng)和與■）. 引導(dǎo)學(xué)生將■看成某數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn并把問題轉(zhuǎn)化，根據(jù)Sn求出bn后比較an和bn的大小，使學(xué)生能夠直觀地看清問題的內(nèi)涵并獲得簡捷的方法：

令數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn=■，根據(jù)公式bn=S1，n=1，Sn-Sn-1，n≥2，

可得bn=■=1-■.

又因?yàn)閍n=1-■，因此證明3n>2n2+2n-2即可.

事實(shí)上n=1，2時(shí)原不等式顯然成立，n≥3時(shí)，3n=（1+2）n≥1+C■×2+C■×4+C■×8=1+2n2+■≥1+2n2+■>2n2+2n-2，得證.

學(xué)生閱讀能力的培養(yǎng)是新課程尤為專注的一個(gè)教學(xué)目標(biāo)，近年來的高考試題也呈現(xiàn)出了立意高、思路寬、情境公平以及語言化程度高的顯著特點(diǎn)，這都需要考生必須具備較強(qiáng)的閱讀理解能力、轉(zhuǎn)化能力、表達(dá)能力，最終在高考中獲得令人滿意的數(shù)學(xué)成績.由此可見，培養(yǎng)學(xué)生的審題能力在高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)教學(xué)中是極具戰(zhàn)略意義的.