例談高考數學中的三類“陷阱”

康宗仁

[摘? 要] 縱觀歷年高考數學試題，不難發現一些看似簡單的試題背后，都存在著一些不易察覺的“陷阱”，倘若學生基礎知識掌握得不夠牢固，或是審題不嚴謹，又或是思維定式，就會落入命題者的“陷阱”之中，造成或多或少的失分. 文章筆者主要對高考中經常出現的“陷阱”加以分類和剖析，以期幫助學生繞過“陷阱”順利解題.

[關鍵詞] 試題;命題者;陷阱;剖析

一些學生在一些大型考試中常常有這樣的體驗：考試時感覺試卷難度不大，沾沾自喜，但一旦分數出來卻是大跌眼鏡. 什么原因造成了這樣的局面呢？事實上，隨著新課程改革的不斷深入，高考試題中出現了不少“陷阱題”，它們既展現了數學的嚴謹性，又考查了學生的審題能力和思維能力，學生稍有不慎就會落入命題者的“陷阱”中，造成失分的局面. 盡管試題中的“陷阱”在具體考試中的表現形式“千姿百態”，但若認真分析則會發現其不外乎以下幾種形式. 下面筆者將通過典型例題對高考中常出現的“陷阱”加以分類和剖析，以期幫助學生繞過“陷阱”順利解題.

知識類“陷阱”

從認知角度著手，知識類“陷阱”不容忽視，命題者設置此類“陷阱”的主要目的在于考查學生基礎知識的掌握情況，誘發和暴露學生認知中的一些錯誤認識和片面觀點，從而逐步轉化為正確的、完善的、科學的概念和方法. 由于數學知識內容豐富，其設置形式也多樣，比較常見的是：針對基礎知識模糊不清設置“陷阱”，針對忽視隱含條件設置“陷阱”，針對一些數學思想的運用設置“陷阱”等.

1. 基礎知識模糊不清

概念是解題的基石，也是思維的基礎. 數學中的一些概念、定理、公式和法則等都具有抽象性，不少學生在學習時往往會忽略其中的隱含條件、關鍵詞語、限制條件等，從而導致理解性的偏差. 命題者往往會有意識地針對學生的理解性偏差設置“陷阱”，誘導學生犯錯. 因此，只有真正理解和掌握基礎知識，理清其內涵和外延，才能不落入“陷阱”之中.

例1：設{an}為首項是1的正項數列，且（n+1）a■-na■+an+1an=0（n∈N），試寫出{an}的通項公式.

錯解：由（n+1）a■-na■+an+1an=0，可得（an+1+an）[（n+1）an+1-nan]=0. 而{an}為正項數列，則an+1+an>0，從而（n+1）an+1-nan=0，所以■=■. 所以{an}是首項為1、公比為■的等比數列，所以an=■■.

剖析：學生在對概念或公式理解不清時，往往會作出想當然的判斷，錯誤隨之產生. 以上錯解主要源于從■=■推導得出{an}為等比數列. 本質上，由■=q可以得出{an}為等比數列，但這里的q必定是一個非零常數，此處的顯然不是，所以上述解析錯誤.

2. 忽視隱含條件

通常我們將一些數學命題的題設、已知條件或欲求結論中可能含有的一些信息，或是解題中所得結論中隱含的一些關系稱為“隱含條件”. 解題的過程中，一些學生無法透過試題的表象看到題目本質，易忽視試題中的一些隱含條件，掉入“陷阱”，導致解題出錯. 因此，在解題的過程中，需深入挖掘隱含條件，捕捉解題的“蛛絲馬跡”，完善正確的解題路徑.

例2：已知3sin2α+2sin2β=2sinα，試求出S=sin2α+sin2β的最大值和最小值.

錯解：據3sin2α+2sin2β=2sinα，可得sin2β=■. 代入S=sin2α+sin2β，可得S=sin2α+sin2β=-■sin2α+sinα=-■·（sinα-1）2+■. 所以，當sinα=1時，S取到最大值■;當sinα=-1時，S取到最小值 -■.

剖析：在解決本題時，不少學生易忽視隱含條件sinα的范圍. 據2sin2β=2sinα-3sin2α≥0，可得0≤sinα≤■，由此無法取到sinα=±1. 而當sinα=■時，S有最大值■;當sinα=0時，S有最小值0.

思維類“陷阱”

從思維角度來看，思維類“陷阱”不容小覷，命題者設計此類“陷阱”主要是考查學生的思維能力，充分暴露學生思維中的薄弱點，使其逐步養成全面、嚴謹、有序、靈活變通的思維習慣. 此類“陷阱”的設置形式主要有以下幾種：

1. 片面性思考

不少學生在解題時習慣性地從已有經驗出發，根據題目的某些局部特征，不深思熟慮就草草下筆，由于負遷移而落入命題者的“陷阱”. 因此，只有全面準確地分析試題，并透徹把握解題思路，才能從“陷阱”中解脫出來，正確解題.

例3：已知數列{an}為等差數列，且公差d≠0，其中a■，a■，a■，...，a■恰好為等比數列，若k1=1，k2=5，k3=17，試求出k1+k2+k3+…+kn的值.

錯解：據題意不難得出a1，a5，a17恰好為該等比數列的前三項，則有a■=a1·a17，所以有（a1+4d）2=a1（a1+16d）（d≠0），解得a1=2d. 所以該數列的前三項為2d，6d，18d，公比為3，所以a■=2d·3k-1. 又因為a■=a1+（kn-1）d=（kn+1）d，所以2d·3k-1=（kn+1）d，所以3k-1=■（kn+1）.

剖析：片面性思考是學生常犯的錯誤，稍有不慎就掉入了“陷阱”之中. 上述解答中a■是等差數列的第kn項，且為等比數列a■，a■，a■，...，a■中的第n項，得出a■=2d·3k-1是錯誤的，出錯根源在于沒有完整分析題目中所給出的條件.

2. 思維定式

思維定式實際上就是一種慣性思維，其影響具有雙重性，積極的思維定式可以讓人專注，當與實際情境吻合時，可以幫助學生快速解題;而消極的思維定式卻影響人的全面思維，嚴重束縛創造性思維的發展. 從學生的固定思維模式去設置“陷阱”是命題者最擅長的技能，使得學生“想當然”地解題，造成錯誤. 因此，只有深入試題內部，仔細觀察試題的本質，才能防止掉入“陷阱”之中.

例4：設Sn，Tn分別為等差數列{an}，{bn}的前n項和，若對于一切n∈N*，都有■=■，試求出■的值.

錯解：據題意，可設Sn=k（7n+1），Tn=k（4n+27）（k為常數），所以an=Sn-Sn-1=7k，bn=Tn-Tn-1=4k，所以■=■.

剖析：本題中，學生顯然是受到思維定式的束縛，一看到■=■，直接聯想到Sn=k（7n+1），Tn=k（4n+27）. 事實上，這正是本題的“陷阱”. 本題可設Sn=kn（7n+1），Tn=kn（4n+27）（k為常數），或是利用等差中項求解.

心理類“陷阱”

從認識論角度來看，心理類“陷阱”也是隨處可見的. 數學解題除去扎實的基礎知識和較強的數學思維能力，良好的心理素質也是不可或缺的. 命題者設置此類“陷阱”主要是為了考查學生的心理素質，杜絕因心理障礙而產生的各種錯誤. 此類“陷阱”的設置主要有以下幾種：

1. 審題不清

一些學生在解題的過程中缺乏十足的信心、堅強的意志和鉆研的精神，往往會急于求成、盲目下筆. 數學解題除去扎實的基本知識和較強的思維能力，還需要良好的心理素質，否則即便是再深厚的知識技能，也有可能因為審題不清而落入“陷阱”，產生錯誤. 因此，教師需積極鼓勵和正確引導，幫助學生養成仔細審題的習慣.

例5：已知x≥4，試求出f（x）=■的最小值.

錯解：f（x）=■+■. 因為x≥4，所以x-2≥2，所以有f（x）=■+■≥2■=1.

剖析：以上解析中，在審題解答的過程中存在著這樣的問題：當且僅當■=■時，即x=3時，f（x）能取到最小值1. 然而x=3并不在x≥4這個范圍之內，則f（x）無法取到最小值1. 此處應令t=x-2（t≥2），可得g（t）=■t+■在[2，+∞）上單調遞增，當t=2時，即x=4時，f（x）取到最小值■.

2. 應用能力薄弱

在學習中，一些學生被動接受知識，學習體驗不深，只會機械運用知識，題目稍加變化就思維卡殼，從而極易落入命題者溫柔的“陷阱”之中. 針對這一現象，我們需關注到學生的學習體驗，培養學生知識的應用能力.

例6：小紅將一枚均勻硬幣拋擲100次，出現50次正面朝上的可能性較大嗎？

錯解：據每次出現正面或反面的概率都是■，可以判斷拋擲100次出現50次正面朝上的概率也接近■，由此判斷發生這一事件的可能性較大.

剖析：將一枚均勻硬幣拋擲100次，即重復完成100次實驗，每次都有可能出現正面、反面兩種結果，出現正面的概率為■. 據n次獨立重復實驗中，事件A發生k次的概率公式，可得P100（50）=C■■■≈0.08，可見發生這一事件的可能性很小.

總之，陷阱題的出現，不僅是為了培養學生的審題能力，更是幫助學生找尋到知識漏洞和思維漏洞. 只要學生深度領悟基本概念的內涵和外延，良好地駕馭知識，周密地思維，沉著應對試題，就能揭開“陷阱”的面紗，在高考中交一份完美的答卷.