“問(wèn)題+”：促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的助推器

張志強(qiáng) 周穎

[摘? 要] 數(shù)學(xué)教育，就是要學(xué)生創(chuàng)造最能激發(fā)思維的情境，促使學(xué)生進(jìn)行循序漸進(jìn)、不斷深入的思考. “問(wèn)題+”能不著痕跡地將新的思想、新的知識(shí)融入原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，在不斷改變問(wèn)題的情境或改變思維的角度中掌握變化中的不變，促使學(xué)生深度學(xué)習(xí). 筆者結(jié)合深度學(xué)習(xí)理論，通過(guò)幾個(gè)在課堂教學(xué)中運(yùn)用“問(wèn)題+”，推動(dòng)學(xué)生深度思考，從而給數(shù)學(xué)課堂教學(xué)注入新的生機(jī)和活力，使課堂教學(xué)比傳統(tǒng)方式更為輕松活潑的教學(xué)案例，談?wù)勛约旱囊恍w會(huì)和思考.

[關(guān)鍵詞] 深度學(xué)習(xí);問(wèn)題+;教學(xué)案例

“問(wèn)題+”，就是在一個(gè)典型數(shù)學(xué)問(wèn)題的基礎(chǔ)上，教師針對(duì)學(xué)生的實(shí)際情況，運(yùn)用相關(guān)的知識(shí)和方法，從不同角度、不同層次、不同背景下對(duì)數(shù)學(xué)概念、定理、習(xí)題等進(jìn)行變化，有意識(shí)地設(shè)問(wèn)，讓學(xué)生從“+”的表象中發(fā)現(xiàn)其與原問(wèn)題的本質(zhì)是一致的，從中探究數(shù)學(xué)規(guī)律. 從而讓學(xué)生抓住問(wèn)題的本質(zhì)，做到以不變應(yīng)萬(wàn)變，從不同方面、角度和情況來(lái)解決這一數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)而概括出解決一類數(shù)學(xué)問(wèn)題的一般性的數(shù)學(xué)規(guī)律和方法.

下面結(jié)合教學(xué)案例，談?wù)勛髡弑救嗽诮虒W(xué)中通過(guò)“問(wèn)題+”促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的一些嘗試.

新授課導(dǎo)入時(shí)“問(wèn)題+”，促使學(xué)生以充沛的熱情深度融入課堂

良好的開端是成功的一半. 在新授課知識(shí)建構(gòu)時(shí)，教師可運(yùn)用“問(wèn)題+”進(jìn)行設(shè)計(jì)，結(jié)合書本教學(xué)內(nèi)容，精心創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣. 進(jìn)而激發(fā)學(xué)生新概念學(xué)習(xí)的沖動(dòng)，讓學(xué)生以豐沛的熱情深浸在課堂知識(shí)的探究之中.

案例1：在人教版必修一起始節(jié)“集合”的第一節(jié)新授課時(shí)，教師可以設(shè)計(jì)以下一組問(wèn)題：周末同學(xué)們陪同家長(zhǎng)到大統(tǒng)華商場(chǎng)去購(gòu)物.

問(wèn)題：大統(tǒng)華商場(chǎng)中的電視機(jī)與大統(tǒng)華商場(chǎng)中的所有商品是什么關(guān)系？學(xué)生一定可以回答出“個(gè)體與總體的關(guān)系”. 這樣創(chuàng)設(shè)的問(wèn)題情境既簡(jiǎn)潔明了，又讓學(xué)生產(chǎn)生了身臨其境的感覺.

問(wèn)題+1：某某同學(xué)與班級(jí)里的所有同學(xué)是什么關(guān)系？直線上的某個(gè)點(diǎn)與直線是什么關(guān)系？桌面上的每個(gè)點(diǎn)和桌面是什么關(guān)系？每一個(gè)自然數(shù)與全體自然數(shù)是什么關(guān)系？這樣就從生活和數(shù)形幾個(gè)角度對(duì)“個(gè)體與總體的關(guān)系”加以了詮釋，再把個(gè)體抽象成每一個(gè)對(duì)象即元素，而全體便抽象成了集合. 這樣，學(xué)生對(duì)集合這個(gè)新概念就有了一種親切感，從而也就有了學(xué)好它的積極性.

問(wèn)題+2：大統(tǒng)華商場(chǎng)購(gòu)物結(jié)賬時(shí)購(gòu)物車中物品對(duì)照集合與元素的概念，你能概括一下集合概念的幾個(gè)要點(diǎn)嗎？購(gòu)物車中物品，對(duì)應(yīng)“一定范圍內(nèi)”;你選擇的，對(duì)應(yīng)“確定的”，顯然購(gòu)物車中的物品可能有相同的，但是在結(jié)賬時(shí)，結(jié)算清單上相同的物品名稱只打印一次，而在后面標(biāo)注不同的數(shù)量，即購(gòu)物車中物品按商品名稱是不重復(fù)計(jì)的，即打印的購(gòu)物結(jié)算單上的物品總體按商品名稱就構(gòu)成了一個(gè)“集合”，從而讓學(xué)生對(duì)集合含義中的幾個(gè)關(guān)鍵詞“一定范圍內(nèi)”“確定的”“不同的”就都有了更為深刻的認(rèn)識(shí)體會(huì)和理解.

問(wèn)題+3：我們知道收銀員在掃描商品時(shí)，是從購(gòu)物車中隨意拿取的，既沒有按價(jià)格的高低，也沒有按物品的大小，這一現(xiàn)象說(shuō)明了什么？在此教師靈巧地借題發(fā)揮，學(xué)生順勢(shì)就能非常自然地想到集合元素的“無(wú)序性”.

設(shè)計(jì)這一組“問(wèn)題+”，就是從學(xué)生熟悉的客觀事實(shí)（如實(shí)例）出發(fā)，創(chuàng)設(shè)了生動(dòng)形象的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)情境，幫助學(xué)生建立起了感性認(rèn)識(shí)和抽象概念（理性認(rèn)識(shí)）之間的聯(lián)系，從表面的不同中找出相同的實(shí)質(zhì)，抽象出集合的概念，對(duì)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和熱情起到了不可磨滅的作用.

概念引入、定理發(fā)現(xiàn)時(shí)“問(wèn)題+”，促使學(xué)生深度思考，促進(jìn)知識(shí)的有效遷移

高中數(shù)學(xué)的許多概念、定理比較抽象，學(xué)生感覺枯燥，學(xué)起來(lái)有索然無(wú)味之感. “問(wèn)題+”讓學(xué)生從動(dòng)手、動(dòng)腦的過(guò)程中復(fù)習(xí)與本課相關(guān)的原有知識(shí)要點(diǎn)，讓學(xué)生深度回顧，促進(jìn)知識(shí)的遷移，通過(guò)類比發(fā)現(xiàn)新的知識(shí).

案例2：“雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程”的一課.

問(wèn)題：橢圓和雙曲線的定義，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)了，它們分別是怎么敘述的？

問(wèn)題+1：兩個(gè)定義的相同處有哪些？不同點(diǎn)是什么？

問(wèn)題+2：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？你能結(jié)合橢圓與雙曲線的定義異同處，根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，猜想出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程嗎？

問(wèn)題+3：你能類比橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，推出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程嗎？

問(wèn)題+4：對(duì)于雙曲線中有條件確定方程和有雙曲線方程研究雙曲線的性質(zhì)，你知道如何解決了嗎？

上面“問(wèn)題+”的設(shè)計(jì)是很有講究的：復(fù)習(xí)回顧為學(xué)生發(fā)現(xiàn)、證明雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程提供了一個(gè)“模板”. “問(wèn)題”“問(wèn)題+1”“問(wèn)題+2”“問(wèn)題+3”從學(xué)生現(xiàn)有發(fā)展水平出發(fā)提出問(wèn)題，期望通過(guò)這些問(wèn)題達(dá)到一種可能達(dá)到的新的發(fā)展水平，即潛在發(fā)展水平，體現(xiàn)了直觀性. “問(wèn)題+4”體現(xiàn)了開放性，由前面的探究過(guò)程，學(xué)生自然而然地就知道用類比的方法，類比橢圓就能解決雙曲線問(wèn)題. 這實(shí)際上是在引領(lǐng)學(xué)生達(dá)到另一個(gè)潛在發(fā)展水平. 如此形成雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的猜想、證明、應(yīng)用的問(wèn)題鏈. 教師通過(guò)“問(wèn)題+”，將學(xué)生的思維引向深入，引導(dǎo)學(xué)生自主探究，獲得新知，發(fā)展了學(xué)生的智慧，加深了對(duì)數(shù)學(xué)的理解. 促使學(xué)生對(duì)“將已有的知識(shí)方法遷移到新的問(wèn)題情境中，作出決策并解決問(wèn)題”有了深刻的理解，深度學(xué)習(xí)理念在學(xué)生心中就能生根發(fā)芽.

易錯(cuò)處“問(wèn)題+”，促使學(xué)生深度反思，促進(jìn)知識(shí)的正確建構(gòu)

對(duì)于學(xué)生易錯(cuò)的地方，教師如果就錯(cuò)而錯(cuò)地向?qū)W生指出，學(xué)生不能留下深刻的印象，往往學(xué)生會(huì)一錯(cuò)再錯(cuò).

案例3：“基本不等式應(yīng)用”的一課.

問(wèn)題：已知x>0，求y=x+■的最小值.

問(wèn)題+1：已知x<0，y=x+■的最值是什么？

問(wèn)題+2：函數(shù)y=x+■有最值嗎？為什么？

問(wèn)題+3：已知x>0，求y=x+■的最小值.

問(wèn)題+4：函數(shù)y=■+■的最小值為2嗎？為什么？

基本不等式的應(yīng)用是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生應(yīng)用該定理時(shí)很容易忽視應(yīng)用條件“一正、二定、三等”. “問(wèn)題+1”出乎意料，“x<0”能用基本不等式嗎？學(xué)生經(jīng)過(guò)深度思考，就知道加個(gè)“-”就可以了，不過(guò)，不等號(hào)的方向要變，最小值變成了最大值;“問(wèn)題+2”綜合了“問(wèn)題”和“問(wèn)題+1”，在這里，“問(wèn)題+”起著強(qiáng)化“一正”的作用;“問(wèn)題+3”中，x·■不是常數(shù)，需要湊成y=x+3+■-3才行，使學(xué)生對(duì)“二定”有了深度的理解;而“問(wèn)題+4”則使學(xué)生對(duì)“三等”這個(gè)極易被忽視的條件有了深度反思.以上“問(wèn)題+”，促進(jìn)了學(xué)生對(duì)基本不等式知識(shí)應(yīng)用的正確建構(gòu).

探究活動(dòng)時(shí)“問(wèn)題+”，促使學(xué)生深度聯(lián)系，促進(jìn)知識(shí)的拓展與化歸

案例4：“直線與圓的位置關(guān)系”的復(fù)習(xí)課.

問(wèn)題：已知圓O的方程為x2+y2=4，點(diǎn)M（x，y）是直線x+y-4=0上的動(dòng)點(diǎn)，MA，MB分別切圓于A，B兩點(diǎn)，求過(guò)點(diǎn)M（2，3）的圓的切線方程.

問(wèn)題+1：求切線長(zhǎng)MA的最小值.

問(wèn)題+2：求四邊形MAOB周長(zhǎng)的最小值.

問(wèn)題+3：求四邊形MAOB面積的最小值.

問(wèn)題+4：求■·■的最大值.

問(wèn)題+1：直線與圓的位置關(guān)系的問(wèn)題要緊緊圍繞圓心、構(gòu)成直角三角形的兩個(gè)要點(diǎn). 原問(wèn)題的解決，只要構(gòu)造直角三角形MAO，由MA=■=■，要求MA的最小值，只要求MO的最小值，進(jìn)而只要求圓心O到直線x+y-4=0上點(diǎn)的距離的最小值，即點(diǎn)O到直線x+y-4=0的距離.

問(wèn)題+2：學(xué)生只要聯(lián)系四邊形MAOB的周長(zhǎng)=4+2MA，馬上就把它化歸為原問(wèn)題得以解決.

問(wèn)題+3：學(xué)生只要能把它進(jìn)行轉(zhuǎn)化，四邊形MAOB的面積=S■=2S△MAO=MA·OA=2MA，又化歸到原問(wèn)題得以解決.

問(wèn)題+4：關(guān)鍵也在于轉(zhuǎn)化，■·■=■·■cos∠AOB=4cos∠AOB=4cos2∠MOA=4（2cos2∠MOA-1）=42■■-1，又回到了只要求MO的最小值即可.

上面從一道習(xí)題出發(fā)，一題多變，開闊了學(xué)生的視野，豐富了學(xué)生的認(rèn)知;這種前后串聯(lián)的“問(wèn)題+”，體現(xiàn)了方法探究的和諧融合，有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的熟練掌握和靈活應(yīng)用，更有利于培養(yǎng)學(xué)生的等價(jià)變形能力和化歸能力，精彩在一個(gè)個(gè)的“問(wèn)題+”中生成.

在“問(wèn)題+”課堂導(dǎo)學(xué)模式中，課堂教學(xué)由“教為中心”向“學(xué)為中心”轉(zhuǎn)化. 教師是指導(dǎo)者，是基于學(xué)生，服務(wù)于學(xué)生的. “問(wèn)題+”避免了重復(fù)的、低層次的重復(fù)追問(wèn)，而是以學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知發(fā)展為追求，恰到好處地引領(lǐng)學(xué)生的思維，推動(dòng)學(xué)生深度學(xué)習(xí)和思考，不著痕跡地促進(jìn)了學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展. “問(wèn)題+”就是學(xué)生深度學(xué)生的助推器.