教材中常見數(shù)學(xué)方法的探究

楊劍

[摘? 要] 在以培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)為方向標(biāo)的新課改背景下，引導(dǎo)學(xué)生掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)方法是提高教學(xué)效率的精髓. 初中階段的數(shù)學(xué)方法主要有分類討論法、數(shù)形結(jié)合法、函數(shù)法、數(shù)學(xué)模型法與變換法等. 文章結(jié)合教材，對(duì)這些教學(xué)方法進(jìn)行探究，希望能給同行們帶來一些啟發(fā).

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)方法;教材;數(shù)形結(jié)合

數(shù)學(xué)方法是指人類經(jīng)過長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐，總結(jié)出不少用數(shù)學(xué)思想解決問題的門路、手段或程序，這些門路、手段或程序統(tǒng)稱為數(shù)學(xué)方法，重復(fù)多次地使用這些數(shù)學(xué)方法能達(dá)到解決問題的目的. 用數(shù)學(xué)方法來解決數(shù)學(xué)問題，就是學(xué)生不斷積累對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)感性認(rèn)識(shí)的過程，只要積累的量達(dá)到一定程度，就會(huì)上升到相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想.

教學(xué)方法的應(yīng)用是指教師在教學(xué)過程中，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言或符號(hào)表達(dá)數(shù)學(xué)現(xiàn)象的狀態(tài)、過程或關(guān)系，并加以演算、分析與推導(dǎo)，形成判斷的過程. 本文結(jié)合初中數(shù)學(xué)教材中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)方法加以剖析與探究.

分類討論法

分類討論是指當(dāng)問題含有多種可能性的情況下，無法使用統(tǒng)一方式進(jìn)行處理，只能針對(duì)每種情況進(jìn)行討論的方法，再綜合討論的結(jié)論給予問題合理的解釋. 初中階段數(shù)學(xué)分類討論法一般涉及數(shù)學(xué)概念、定義、法則、公式或性質(zhì)等. 在此歸納為兩類分類討論法進(jìn)行闡述：

1. 概念類的分類討論

例如，教材中“有理數(shù)”的章節(jié)，就使用了分類討論法，按有理數(shù)的定義（見表1）和性質(zhì)（見表2）進(jìn)行討論.

將概念運(yùn)用分類討論法呈現(xiàn)，讓學(xué)習(xí)者能一目了然地明確概念的本質(zhì)與內(nèi)涵，比抽象的文字?jǐn)⑹鲆獊淼弥庇^易理解.

2. 定理、法則、公式或性質(zhì)等的分類討論

例如，教材中“函數(shù)的性質(zhì)”章節(jié)，對(duì)函數(shù)的性質(zhì)也進(jìn)行了分類討論：一次函數(shù)y=kx+b（k，b為常數(shù)，且k≠0），反比例函數(shù)y=■（k為常數(shù)，k≠0）以及二次函數(shù)y=ax2（a≠0），都把系數(shù)k和a分別按k>0，k<0和a>0，a<0來討論，函數(shù)的性質(zhì)也浮出了水面.

分類討論在教材中運(yùn)用范圍非常廣泛，如：①有理數(shù)運(yùn)算，將兩個(gè)有理數(shù)分成同號(hào)、異號(hào)等進(jìn)行分類討論;②平方根和立方根中，也是分正負(fù)數(shù)和0分別加以討論;③分式加減中，根據(jù)分式的同分母和異分母進(jìn)行分類討論，等等.

數(shù)形結(jié)合法

華羅庚曾經(jīng)說過：“當(dāng)數(shù)量關(guān)系缺乏圖形來理解時(shí)，則缺少直觀;而一般圖形缺乏數(shù)量關(guān)系來表示時(shí)，則難以細(xì)微. ”以形助教、以數(shù)助形是新課改下數(shù)學(xué)教學(xué)的熱門話題. 這里的“數(shù)”表示正負(fù)數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)、虛實(shí)數(shù)等，還可以表示方程、代數(shù)式、函數(shù)、統(tǒng)計(jì)數(shù)、隨機(jī)數(shù)或矩陣等;“形”一般指圖形或圖像，還包括現(xiàn)實(shí)的空間以及抽象的空間等.

數(shù)形結(jié)合法貫穿于整個(gè)初中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，它對(duì)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)這門學(xué)科具有舉足輕重的作用. 實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合關(guān)系轉(zhuǎn)化的“橋梁”有直角坐標(biāo)系、數(shù)軸、構(gòu)造與轉(zhuǎn)化等，它們利用數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，圖像與函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系等表達(dá).

例如，教材中在有理數(shù)這章節(jié)引入了數(shù)軸來幫助學(xué)生理解“絕對(duì)值和相反數(shù)”的內(nèi)容，學(xué)生從數(shù)軸與有理數(shù)的關(guān)系中初步感受到數(shù)形結(jié)合的基本思想，達(dá)到以形助教的明顯效果. 若教材純粹使用文字描述絕對(duì)值的定義，學(xué)生從抽象的文字中難以真正理解絕對(duì)值的概念本質(zhì)，而結(jié)合數(shù)軸的表示，絕對(duì)值的真正內(nèi)涵則顯示于直觀的形，學(xué)生在直觀之形中能快速、準(zhǔn)確地把握知識(shí)的內(nèi)涵，從而構(gòu)建新的知識(shí)結(jié)構(gòu).

再如，教材中的“反比例函數(shù)”與“二次函數(shù)”所呈現(xiàn)的內(nèi)容也使用了數(shù)形結(jié)合法，這兩部分都使用了類比一次函數(shù)的方法，通過平面直角坐標(biāo)系與圖像的關(guān)系來揭示函數(shù)的內(nèi)涵. 若能將實(shí)際問題中存在的數(shù)量變化與其關(guān)系軸抽象出二次函數(shù)，就可以在圖像與函數(shù)的性質(zhì)中解決問題;若問題與拋物線的形狀有關(guān)，則需建立平面直角坐標(biāo)系，將二次函數(shù)的關(guān)系式與拋物線進(jìn)行對(duì)應(yīng)，從而有效地解決問題.

當(dāng)然，數(shù)形結(jié)合在教材中呈現(xiàn)的還有很多. 如：①一元一次不等式中關(guān)于“不等式的解集”也是通過數(shù)軸的引入，幫助學(xué)生理解所有能使不等式成立的值;②教材中關(guān)于乘法公式與勾股定理等，均通過圖形面積的等積變形來體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想，主要是將圖形關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系，幫助學(xué)生更好地理解乘法公式與勾股定理;③教材中介紹完平面直角坐標(biāo)系的知識(shí)結(jié)構(gòu)之后，再展示一次函數(shù)的內(nèi)容，將這兩部分內(nèi)容結(jié)合在一起實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合教學(xué)方法的展示，幫助學(xué)生更好地理解函數(shù)的本質(zhì)特征;④關(guān)于二元一次方程組的圖像解法，就是把代數(shù)問題實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，變成幾何問題后再解決問題，等等.

函數(shù)法

所謂的函數(shù)法是根據(jù)實(shí)際問題引入變量，再用這個(gè)變量與常量來表達(dá)，將待求目標(biāo)轉(zhuǎn)為此變量的函數(shù)，使用函數(shù)來解決相應(yīng)的問題. 它在初中數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)生與發(fā)展中，起到了關(guān)鍵作用，它具有高度的包容性. 因此，函數(shù)法是從運(yùn)動(dòng)變化的視角來處置數(shù)學(xué)問題的一種重要方法和思想.

雖然初中數(shù)學(xué)中的一次函數(shù)、正反比例函數(shù)以及二次函數(shù)等都安排在八年級(jí)教材中，但函數(shù)思想早在七年級(jí)教材中就有體現(xiàn)了.

例如，“用字母表示數(shù)”章節(jié)中用代數(shù)式求值，當(dāng)x=-4時(shí)，求代數(shù)式2x+5的值. 如當(dāng)x=-3，-2，-1……請(qǐng)求出代數(shù)式的值，等等. 學(xué)生根據(jù)教材中的此類問題，發(fā)現(xiàn)代數(shù)式的值會(huì)隨著x的變化而發(fā)生改變. 反過來，若代數(shù)式2x+5的值為0，要求出x的值，就是解方程了;若問題是當(dāng)x的值為哪些時(shí)，代數(shù)式2x+5的值大于0或小于0，問題就屬于不等式求解了. 因此，將數(shù)、式、方程與不等式等統(tǒng)一到函數(shù)的范疇，當(dāng)相關(guān)問題在推演過程中遇到障礙的時(shí)候，可先將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)，再運(yùn)用函數(shù)法來解決相應(yīng)的問題.

再如，“將代數(shù)式看成函數(shù)的一個(gè)值”的教學(xué)，可將a2+1看作函數(shù)y=x2+1當(dāng)x取a的值;方程f（x）=0的根，可看作函數(shù)y=f（x）與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，等等.

數(shù)學(xué)模型法

數(shù)學(xué)模型法是指運(yùn)用函數(shù)關(guān)系或符號(hào)等，將待評(píng)價(jià)的內(nèi)容系統(tǒng)地規(guī)定好，用數(shù)學(xué)公式表達(dá)互相變化關(guān)系的一種方法. 其表達(dá)的具體內(nèi)容可以是定性或定量的，但均以定量的方式體現(xiàn). 它具有操作簡(jiǎn)易、有代表性、真實(shí)系統(tǒng)地反映客觀現(xiàn)象等特征.

數(shù)學(xué)模型是對(duì)數(shù)學(xué)現(xiàn)象原始化的概括或模擬，是抽象化之后的產(chǎn)物，它的原型可以是具體的數(shù)學(xué)對(duì)象或數(shù)學(xué)關(guān)系，主要以模型的方式來呈現(xiàn)數(shù)學(xué)現(xiàn)象. 初中數(shù)學(xué)教材中呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)模型比較多，根據(jù)其功能性大致可以分為兩類：①概念類，指通過一定的方法，將客觀的數(shù)學(xué)現(xiàn)象或事物抽象為數(shù)學(xué)概念，如實(shí)數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)、整式與代數(shù)式等;②方法類，指將客觀的數(shù)學(xué)現(xiàn)象或事物之間的關(guān)系，通過一定方法抽象為運(yùn)算法則或公式等.

變換法

所謂的變換法是指將抽象復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成等價(jià)值的單個(gè)或多個(gè)簡(jiǎn)單易理解的問題，使解決原問題變得簡(jiǎn)便. 用變換法解決相關(guān)問題時(shí)，可選擇轉(zhuǎn)化原問題的條件或結(jié)論，也可以選擇將原問題轉(zhuǎn)化為幾何的方式，或通過變換圖形的大小、形狀或位置來解決問題.

例如，“三角形內(nèi)角和”的變換法. 問題：已知三角形的內(nèi)角和為180°，請(qǐng)問四邊形的內(nèi)角和是多少？其他多邊形的內(nèi)角和呢？

教材中使用連接四邊形的對(duì)角線，將一個(gè)四邊形變換為兩個(gè)三角形后，獲得四邊形的內(nèi)角和為兩個(gè)三角形的內(nèi)角和，即360°. 使用同樣的變換法，要求出其他多邊形的內(nèi)角和，都不是問題.

實(shí)踐證明，初中數(shù)學(xué)教學(xué)需要根據(jù)教材所提供的教學(xué)法，遵循數(shù)學(xué)學(xué)科特征和學(xué)生身心發(fā)展的規(guī)律，力求在幾者統(tǒng)一的基礎(chǔ)上，進(jìn)行有效教學(xué). 讓學(xué)生從各種教學(xué)方法中循序漸進(jìn)地獲得相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想，在提高學(xué)科認(rèn)識(shí)水平的基礎(chǔ)上有效地提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).