“函數y=Asin（ωx+φ）的圖象”教學設計

陳春芳

數學建模不僅是數學學科的六大核心素養之一，也是貫穿高中數學課程的四條主線之一。如何培育學生的建模素養，數學建模進入數學課堂應是關鍵。三角函數是刻畫周期現象的重要數學模型，函數y=Asin（ωx+φ）是三角函數的重要內容，本節內容在蘇教版高中數學必修4中是通過物理的簡諧振動來引入的，但從學生的物理知識儲備情況來看他們并不了解簡諧振動，因為缺少生活原型他們很難建構起函數的真實意義。而在改版后的蘇教版高中數學必修第一冊中，這一模型直接換成了摩天輪的例子，經過對比教學，我們發現借助摩天輪上點的勻速圓周運動呈現不同參數對函數y=Asin（ωx+φ）圖象的影響的做法更加形象直觀，有助于學生理解A、ω、φ 的幾何意義，事實上圓是刻畫周期性運動最簡潔的模型，在研究三角函數的過程中始終貫穿單位圓模型也有助于體現模型的真正價值。當然數學建模從課程標準走向課堂教學，離不開現代教育技術的支撐，在教學實施過程中，我們應用GeoGebra這一動態數學軟件開發了相應的課程資源，為學生的數學理解和深度思考“打開一扇窗”。

一、教學分析

1.教材分析。

三角函數是一種基本初等函數，也是描述周期現象的重要數學模型，在數學、物理、天文、生物和工程技術中均有著廣泛的應用。函數y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的圖象作為其中的一個重要內容，需要由特殊到一般、由簡單到復雜、由具體到抽象，逐步分解剖析三個參數A、ω、φ 對函數y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）圖象的影響，從而從變換的視角建構函數y=Asin（ωx+φ）圖象與函數y=sinx 圖象之間的內在聯系，最終形成由函數y=sinx 圖象變換得到函數y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）圖象的變換規律和方法。

2.教學目標。

（1）結合具體勻速圓周運動實例，抽象并建立函數y=Asin（ωx+φ）數學模型，了解模型的實際意義，提升數學抽象素養。

（2）分類探究A、ω、φ 三個參數對函數y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）圖象的影響，在經歷y=sinx 到y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）圖象變換探究的過程中，提升數學發現能力和概括總結能力，通過觀察圖象、代數論證和模型分析，體驗由簡單到復雜、由特殊到一般的化歸思想，提升直觀想象素養和邏輯推理素養。

（3）認識物理中的簡諧振動、電流與電磁波，氣象學中的潮汐現象等模型與圓周運動的內在聯系。

3.學情分析。

研究過正弦函數、余弦函數的圖象和性質，明晰借助單位圓用正弦線作圖的原理；在指數函數、對數函數和冪函數的學習中，具備數形結合法研究函數圖象的直接經驗，掌握函數圖象的平移變換法；掌握了利用圖象研究函數的方法，了解觀察、歸納、類比、聯想等數學思想方法，由簡單到復雜、特殊到一般、由具體到抽象的化歸數學思想。

二、教學過程

1.創設情境，建立模型。

問題1：對于一般的勻速圓周運動，可以用怎樣的數學模型刻畫呢？

如圖1，摩天輪的半徑為40m，圓心O 距地面的高度為48m，摩天輪逆時針做勻速轉動，每30min 轉 一圈。摩天輪上點P 從圖中點P0處開始計算時間（角φ 的終邊為OP0）。你能確定在時刻t（min）時，點P 距離地面的高度H（m）嗎？

教師播放摩天輪勻速運動的動畫，讓學生觀察摩天輪上一點的周而復始的運動，體會勻速圓周運動的周期性。在直觀認識的基礎上引導學生思考，如何將現實問題數學化？指導學生用數學的語言來表達勻速圓周運動。

通過建立平面直角坐標系，借助三角函數的定義，學生建立了刻畫一般勻速圓周運動的數學模型H=Asin（ωt+φ）+k（其中A、ω、φ 都是常數，且A＞0，ω＞0），從而讓學生感受到，函數y=Asin（ωt+φ）是客觀存在的，是刻畫自然界周期現象的數學模型，讓學生明白本節的研究目的。

（設計意圖：生活中的周期現象隨處可見，而三角函數是刻畫周期現象的一個重要模型。結合生活實際創設問題情境，讓學生從具體問題中抽象出數學模型，加強了數學與生活的聯系。從實際問題中抽象出數學模型，這是本節課的一個難點，因此在問題1 之前，讓學生回顧三角函數的定義，為后續建立數學模型作鋪墊。問題情境的創設，發展了學生數學抽象、數學建模的數學學科核心素養。）

2.經歷回顧，制訂研究策略。

問題2：面對一個新函數y=Asin（ωx+φ），我們接下來應該研究什么？怎樣研究？

數學教學在教會學生數學知識的同時更重要的是要教會學生學習數學的方法，學會自主學習，自我發展。學生在學習指、對、冪函數時已經積累了研究函數的基本方法和經驗，教師適當引導、啟發，學生能夠得出研究函數的一般方法：函數概念→函數圖象→函數性質→模型應用。

問題3：如何由y=sinx 的圖象得到函數y=Asin（ωx+φ）的圖象？

教師分析關鍵是研究參數A、ω、φ 對函數y=Asin（ωx+φ）的影響，三個參數分別會影響圖象的什么特征？初高中學習中遇到過類似問題嗎？對這類問題學生并不陌生，二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）中各參數對函數圖象的影響，還有物理學習也遇到過類似問題。

學生得出研究思路：通過控制變量，先各個擊破，分別研究y=sin（x+φ）、y=Asinx、y=sinωx，最后再綜合研究y=Asin（ωx+φ）。

教師繼續追問，你會先研究哪個參數？為什么？這里學生意見應該相對統一，先研究φ對圖象的影響，因為在之前的學習中，已經學過圖象平移的問題。

（設計意圖：明確研究方向后，接下來要解決的就是如何研究的問題。學生要設計研究方案，并能說出設計的依據，這有利于提升學生分析問題、解決問題的能力，培養學生形成探究的習慣。）

3.操作探究，分析模型。

探究1：φ對y=sin（x+φ）圖象的影響。

作圖觀察：學生在應用GeoGebra 制作的數學實驗平臺上做實驗，如在輸入框內輸入A=1，ω=1，φ=1（如圖2），得到函數g（x）=sin（x+1）圖象，由圖象可知，g（x）=sin（x+1）的圖象可由f（x）=sinx的圖象向左平移1rad得到。

理性思考：為什么兩個函數圖象之間具有這樣的關系？一般化的結論是什么？

在實驗平臺中，改變φ 的值多次實驗，并結合點的考量，得出結論：將f（x）=sinx 上的所有點向左（當φ＞0 時）或向右（當φ＜0 時）平移|φ|個單位，得到g（x）=sin（x+φ）的圖象。

回歸模型：y=sin（x+φ）是刻畫勻速圓周運動的數學模型，這里的φ的物理意義是什么？

如圖3，利用GeoGebra 作出勻速圓周運動中點P 的軌跡，其中φ 的終邊就是OP0，當改變點P0的位置時，正弦曲線上所有點向左（φ＞0）或向右（φ＜0）平移|φ|個單位長度。根據物理意義，我們又稱φ 為初相。由φ 引起的是圖象變換又稱相位變換。

（設計意圖：研究過程遵循學生的認知規律，采用從特殊到一般、從具體到抽象的策略。從三個層面（作圖觀察、理性思考、回歸模型）展開，這三個環節緊緊相扣、層層遞進。學生先觀察圖象特征，猜想數學結論，再從數學和物理兩個角度闡釋結論的合理性。不僅解決了是什么的問題，即圖象怎樣變換，還解決了為什么的問題，即圖象發生這樣變化的本質原因在哪里。通過問題的探究，學生的直觀想象、邏輯推理的數學學科核心素養得到了提升。）

4.類比探究，得出結論。

探究2：A、ω 對y=Asinx 和y=sinωx 圖象的影響。

類比探究的方法：作圖觀察—理性思考—回歸模型。

教師將學生分成兩組分別研究，從知識結構上看，這兩者本質相同，可以對比研究，在得出一般結論后，從發展學生思維能力考慮，需要學生邏輯推理，數形結合多方面探究，相互印證。

其中A 的物理意義是振幅，由A 引起的圖象變換又稱振幅變換。ω 引起的變化是周期變化，但是周期與ω 的關系從圖象觀察不容易理解。為了突破這個難點，教師可以回歸模型，用勻速圓周運動來解釋ω與周期的關系。

（設計意圖：類比是一種重要的數學思想，也是一種重要的數學方法。在學生探究學習的過程中起到舉足輕重的作用。在探究φ 的過程中，學生掌握了基本研究思路和方法，學生可以采用類比的方法對A、ω 進行研究。ω 對圖象的影響是本節課的一個難點，教師放手讓學生自主探究，主動參與知識建構的過程，在學生探究和交流的基礎之上，教師利用GeoGebra 軟件作圖演示，并利用勻速圓周運動，解釋其物理意義。這樣不僅能加深學生對知識的認識和理解，也提升了學生分析問題和解決問題的能力。）

5.回歸模型，深化理解。

探究3：你能總結一下從函數y=sinx的圖象變換得到y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）圖象的過程與方法嗎？

在學生總結出圖象變換的規律后，教師引導學生回到勻速圓周運動模型，再次認識函數y=Asin（ωx+φ）是周期函數，這類函數在生活中是廣泛存在的，比如在物理和工程技術的許多問題中，經常會遇到形如y=Asin（ωt+φ）的函數，例如簡諧振動、彈簧振子、單擺、繩波等。只要將函數y=Asin（ωt+φ）的性質研究清楚，就能把握這類事物的運動規律。

（設計意圖：最后回歸模型總結本節課探究的重要結論：函數y=Asin（ωx+φ）是周期函數，它的圖象可由函數y=sinx 的圖象經平移、伸縮變換得到，綜合研究的成果，提煉研究方法。）

6.歸納總結，反思提煉。

（1）本節課的研究內容：從具體實例中抽象出數學模型—利用數學知識和方法研究數學模型—借助模型解決相關數學問題。

（2）本節課的研究方法：作圖觀察—理性思考—回歸模型。

（3）本節課的研究策略：復雜問題簡單化、一般問題特殊化。

（設計意圖：引導學生從知識和方法兩個方面進行小結。培養學生及時總結，概括提升的能力，為在課后能繼續獨立探究思考埋下伏筆。）