基本初等函數(shù)常見典型考題賞析

張德理

基本初等函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，同學(xué)們要牢固掌握其概念、圖像與性質(zhì)以及應(yīng)用等。

題型一：指數(shù)函數(shù)的圖像及應(yīng)用

例1 函數(shù)f(x)=1-e|x|的圖像大致是( )。

解：由f(x)=1-e|x|是偶函數(shù)，其圖像關(guān)于y 軸對稱，可排除B，D。

因為e|x|≥1，所以f(x)的值域為(-∞，0]，排除C。應(yīng)選A。

由圖像可知，函數(shù)f(x)在(-∞，+∞)上單調(diào)遞增。

因為x＞x-1，且x-(x-1)=1，f(0)=1，所以要使f(x)+f(x-1)＞1成立，結(jié)合函數(shù)f(x)的圖像可知，只需滿足x-1＞-1，解得x＞0。故所求x 的取值范圍是(0，+∞)。

題型二：指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

有關(guān)指數(shù)不等關(guān)系的比較大小問題，常化為同底或同指的形式，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，或1，0，-1 等中間量進行比較。簡單的指數(shù)方程或不等式的求解問題，主要是利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，要特別注意底數(shù)的取值范圍，并在必要時進行分類討論。形如y=a2x+b·ax+c(a＞0，且a≠1)型函數(shù)的最值問題常用換元法，即令t=ax轉(zhuǎn)化為y=t2+bt+c 的最值問題，但要注意t 的取值范圍。

題型三：對數(shù)函數(shù)的圖像及應(yīng)用

對數(shù)函數(shù)的底數(shù)的大小決定了圖像相對位置的高低，無論是a＞1還是0＜a＜1，在第一象限內(nèi)，自左向右，圖像對應(yīng)的對數(shù)函數(shù)的底數(shù)逐漸變大。在x 軸上方，圖像從左到右相應(yīng)的底數(shù)由小變大；在x 軸下方，圖像從右到左相應(yīng)的底數(shù)由小變大(無論在x 軸的上方還是下方，底數(shù)都按順時針方向變大)。研究對數(shù)型函數(shù)圖像的思路：一般從最基本的對數(shù)函數(shù)的圖像入手，通過平移、伸縮、對稱變換得到，特別地，要注意底數(shù)a＞1或0＜a＜1這兩種不同情況。

例3 函數(shù)f(x)=|loga(x+1)|的大致圖像是( )。

解：(方法1)函數(shù)f(x)=|loga(x+1)|的定義域為{x|x＞-1}，且對任意的x，均有f(x)≥0，結(jié)合選項可知選C。

(方法2)f(x)=|loga(x+1)|的圖像可由y=logax 的圖像向左平移1個單位，再把x 軸下方向上翻折得到的，結(jié)合選項知選C。

跟蹤訓(xùn)練3：已知函數(shù)f(x)=|lnx|。若0＜a＜b，且f(a)=f(b)，則a+4b 的取值范圍是( )。

A.(4，+∞)

B.[4，+∞)

C.(5，+∞)

D.[5，+∞)

題型四：對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與底數(shù)a 的值有關(guān)，在研究對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時，要按0＜a＜1和a＞1進行分類討論。求解簡單的對數(shù)不等式問題，先利用對數(shù)的運算性質(zhì)化為同底數(shù)的對數(shù)，再利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般不等式求解，對于某些對數(shù)不等式問題也可以轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖像，利用數(shù)形結(jié)合法求解。解決對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合問題要注意三點：①分清函數(shù)的底數(shù)是a∈(0，1)，還是a∈(1，+∞)。②無論研究函數(shù)的什么性質(zhì)或利用函數(shù)的某個性質(zhì)，都要在其定義域上進行。③一定要注意對數(shù)問題轉(zhuǎn)化的等價性。

題型五：冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)的應(yīng)用

這類問題要借助冪函數(shù)的圖像，理解冪函數(shù)的對稱性、單調(diào)性，準確掌握冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵。在比較冪值的大小時，必須結(jié)合冪值的特點，選擇適當?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進行比較。

題型六：二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)

二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)在高考中單獨考查的頻率較低，與一元二次方程、一元二次不等式等知識交匯命題是高考的熱點，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)的應(yīng)用。

例6 圖2 是二次函數(shù)y=ax2+bx+c 圖像的一部分，圖像過點A(-3，0)，對稱軸為直線x=-1。現(xiàn)給出下面四個結(jié)論：①b2＞4ac；②2a-b=1；③a-b+c=0；④5a＜b。

其中正確的結(jié)論是( )。

A.②④ B.①④

C.②③ D.①③

題型七：函數(shù)圖像的應(yīng)用問題

利用函數(shù)圖像可以解決很多與函數(shù)有關(guān)的問題，如利用函數(shù)圖像解決函數(shù)的零點問題、方程根的問題、有關(guān)不等式問題等，解決這類問題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出相應(yīng)函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合思想求解。

例7 已知函數(shù)f(x)=x|x|-2x，則下列結(jié)論正確的是( )。

A.f(x)是偶函數(shù)，遞增區(qū)間是(0，+∞)

B.f(x)是偶函數(shù)，遞減區(qū)間是(-∞，1)

C.f(x)是奇函數(shù)，遞減區(qū)間是(-1，1)

D.f(x)是奇函數(shù)，遞增區(qū)間是(-∞，0)

由圖可知，函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于原點對稱，故函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在(-1，1)上單調(diào)遞減。應(yīng)選C。

提示：要 使 當x ∈(1，2)時，不 等 式(x-1)2＜logax 恒成立，只需函數(shù)y=(x-1)2在(1，2)上的圖像在y=logax 的圖像的下方即可。

當0＜a＜1時，顯然不成立。如圖4，當a＞1時，要使當x∈(1，2)時，y=(x-1)2的圖像在y=logax 的圖像的下方，只需滿足(2-1)2≤loga2，即loga2≥1，解得1＜a≤2。

故實數(shù)a 的取值范圍是(1，2]。應(yīng)選A。