函數(shù)應(yīng)用中的創(chuàng)新問題

何 煒 劉大鳴(特級教師)

本文對函數(shù)應(yīng)用中創(chuàng)新問題的求解方法進(jìn)行歸納升華，希望對同學(xué)們求解創(chuàng)新問題有所啟迪。

創(chuàng)新1：函數(shù)最大值與最小值中的整體思維

創(chuàng)新2：由函數(shù)值域探究其定義域

[m ，4]上的值域 為 [ -1，2]，則 實 數(shù)m 的 取值范圍為_____。

由值域探究其定義域，可利用數(shù)形結(jié)合法求解。作出函數(shù)f x( )的大致圖像，如圖1所示。

升華：由函數(shù)值域探究其定義域系逆向思維，利用定義域到值域的唯一的對應(yīng)關(guān)系，借助函數(shù)圖像和特殊函數(shù)值處的自變量值，以形助數(shù)和運動變化的觀念探究其取值范圍。

創(chuàng)新3：函數(shù)不等式中的合理轉(zhuǎn)化

例3 已知函數(shù)f x( )=2x且f x( )=g x( )+h x( )，其中g(shù) x( )為奇函數(shù)，h x( )為偶函數(shù)，若不等式3ag x( )+h 2x()≥0對任意的x∈1，2[ ]恒成立，則實數(shù)a 的取值范圍是_____。

由已知可得g x( )+h x( )=2x，注 意g x( ) 為 奇 函 數(shù)，h x( )為偶函數(shù)，則g -x( )+h -x( )=2-x，即得-g x( )+h x( )=2-x。

創(chuàng)新4：新定義的圖像交點問題

例4 若點A，B 分別是函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖像上的點，且線段AB 的中點恰好為原點O(0，0)，則稱A，B 為兩函數(shù)的一對“孿生點”。若函數(shù)f(x)=lg|x|，g(x)=2x，則這兩函數(shù)的“孿生點”共有( )。

A.1對 B.2對

C.3對 D.4對

“孿生點”是函數(shù)y=f(x)和y=g(x)的圖像上的點，“孿生點”關(guān)于原點對稱。其實，本題就是求函數(shù)y=f(x)與y=-g(-x)圖像交點的個數(shù)。

由圖可知，兩圖像有2 個交點。所以f(x)=lg|x|與g(x)=2x這兩函數(shù)的“孿生點”共有2對。應(yīng)選B。

升華：本題通過定義兩函數(shù)的“孿生點”，達(dá)到考查對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的圖像以及函數(shù)圖像的對稱變換的目的。

已知方程2018x=a-x 和方程log2018x=a-x a＞1( )的根分別為x1，x2，則x21+x22的取值范圍為( )。