函數應用中的誤區警示

張 楠

本文匯集函數模型及函數綜合應用中的誤區警示，希望引起同學們的高度重視。

誤區1：求解函數零點的方法選擇不當

例1判斷函數f(x)=|2x|-3在區間[-1，1]內是否有零點。

錯解：因為f(-1)=f(1)=-1，所以f(-1)·f(1)＞0，則函數f(x)=|2x|-3在區間[-1，1]內沒有零點。

剖析：上述解法套用了函數零點的存在性判定定理，忽視了其前提條件。

正解1：當x ∈[-1，1]時，f(x)=|2x|-3≤-1，函數y=f(x)在[-1，1]上的圖像與x 軸沒有交點，即函數f(x)=|2x|-3在區間[-1，1]內沒有零點。

警示：判斷函數的零點個數，需要判斷在給定區間上兩端點的函數值的正負，若兩端點函數值符號相反，再結合圖像的連續性進行判斷；若兩端點函數值符號相同，需探究函數在該區間上的單調性，再利用函數圖像進行判斷。一般地，當不能直接求出零點時，可根據零點存在性定理判斷；當用零點存在性定理也無法判斷時，可畫出圖像判斷。

誤區2：由函數零點求參數時忽視分類討論

例2函數f(x)=ax-x-a(a＞0，且a≠1)有兩個零點，則實數a 的取值范圍是____。函數y=x+a，則函數f(x)=ax-x-a(a＞0，且a≠1)有兩個零點，也就是函數y=ax(a＞0，且a≠1)與函數y=x+a 的圖像有兩個交點。

畫出兩個函數的圖像(圖略)。由圖像可知，當0＜a＜1時，兩個函數的圖像只有一個交點，不符合題意；當a＞1 時，函數y=ax(a＞1)的圖像過點(0，1)，而直線y=x+a所過的點一定在點(0，1)的上方，這時一定有兩個交點。

故實數a 的取值范圍是a＞1，即a∈(1，+∞)。

警示：函數的零點問題，常常化歸為兩個函數圖像的交點問題求解。解答這類問題，合理分類和數形結合法以及函數思想的應用是解題的關鍵。

誤區3：函數的零點的大小比較中忽視圖像的作用

錯解：所求問題可化為函數y=ax(a＞0，且a≠1)與函數y=x+a 的圖像有兩個交點問題求解。畫出兩個函數的圖像(圖略)，由圖像易得a＞1。

剖析：當化為兩個函數的圖像有兩個交點時，忽視了0＜a＜1的情況。

正解：設函數y=ax(a＞0，且a≠1)和

錯解：沒有理解m，n 的意義，不能得到正數m，n 的大小關系。

或者，胡亂猜測m＞n。

剖析：忽視特殊值法和圖像法的作用。

正解1：(特殊值法)嘗試m=3，n=2，這時適合方程2m+m=3n+n，則正數m＞n。

正解2：(數形結合法)設2m+m=3n+n=k，則2m=k-m，3n=k-n，于是m，n 分別為函數y=2x，y=3x，y=k-x 的圖 像交點的橫坐標。作出這三個函數的大致圖像(圖略)，注意指數函數圖像的分布規律，易得m＞n。

警示：特殊值法判斷是最優化的解法。利用一條直線與兩個指數函數圖像的交點，借助指數函數圖像分布規律求解，凸顯函數與方程和數形結合思想的應用。