函數應用核心考點綜合演練

歐陽亮

一、選擇題

1.函數y=x2-bx+1有一個零點，則b的值為( )。

A.2 B.-2

C.±2 D.3

2.函數f(x)=ln(2x)-1的零點所在的區間是( )。

A.(2，3) B.(3，4)

C.(0，1) D.(1，2)

3.已知定義在R 上的奇函數f(x)滿足：當x＞0時，f(x)=2x+2x-4。則f(x)的零點個數是( )。

A.2 B.3

C.4 D.5

4.函數f(x)=ex+x-3在區間(0，1)上的零點個數是( )。

A.0 B.1

C.2 D.3

5.設 函 數y=log2x-1 與y=22-x的 圖像 的 交 點 為(x0，y0)，則x0所 在 的 區 間是( )。

A.(0，1) B.(1，2)

C.(2，3) D.(3，4)

A.0 B.1

C.2 D.3

7.函數f(x)滿足f(x+2)=f(x)，且當-1≤x≤1 時，f(x)=|x|。若函數y=f(x)的圖像與函數g(x)=logax(a＞0，且a≠1)的圖像有且僅有4個交點，則a 的取值集合為( )。A.(4，5) B.(4，6)C.{5} D.{6}

A.(0，1]

B.[1，+∞)

C.(0，1)

D.(-∞，1]

9.某位股民買入某支股票，在接下來的交易時間內，他的這支股票先經歷了3 次漲停(每次上漲10%)，又經歷了3次跌停(每次下降10%)，則該股民這支股票的盈虧情況(不考慮其他費用)為( )。

A.略有盈利

B.無法判斷盈虧情況

C.沒有盈利也沒有虧損

D.略有虧損

二、填空題

13.某人計劃購買一輛A 型轎車，售價為14.4 萬元，購買后轎車每年的保險費、汽油費、年檢費、停車費等約需2.4 萬元，同時汽車年折舊率約為10%(即這輛車每年減少它的價值的10%)，試問大約使用____年后，用在該車上的費用(含折舊費)達到14.4萬元。

14.某公司為激勵創新，計劃逐年加大研發資金的投入。若該公司2016 年全年投入研發資金130萬元，在此基礎上，每年投入的研發資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發資金開始超過200萬元的年份是_____年。(參考數據：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.3)

(1)求函數y=g(x)的解析式。

(2)若方程f(x)=a 在x∈[0，1]上有且僅有一個實數根，求實數a 的取值范圍。

17.已知函數f(x)=log2(2x+1)。

(1)求證：函數f(x)在(-∞，+∞)上單調遞增。

(2)若g(x)=log2(2x-1)(x＞0)，且關于x 的方程g(x)=m+f(x)在[1，2]上有解，求m 的取值范圍。

(1)求f(50)的值。

(2)試問如何安排甲、乙兩個大棚的投入，才能使總收入f(x)最大。

(1)當x∈[200，300]時，判斷該項目能否獲利。如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則政府每月至少需要補貼多少元才能使該項目不虧損?

(2)該項目每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低?

一、選擇題

1.提示：因為函數有一個零點，所以Δ=b2-4=0，所以b=±2。應選C。

2.提示：f(x)=ln(2x)-1 是(0，+∞)上的增函數，是連續函數，且f(1)=ln2-1＜0，f(2)=ln4-1＞0，根據函數零點的存在性定理可得函數f(x)的零點位于區間(1，2)內。應選D。

4.提示：由題意知函數f(x)是增函數。根據函數的零點存在性定理及f(0)=-2，f(1)=e-2＞0，可知函數f(x)在區間(0，1)上有且只有1個零點。應選B。

7.提示：因為f(x+2)=f(x)，所以f(x)的 周 期 為2。當x ∈[-1，1]時，f(x)=|x|。在同一直角坐標系中作出函數f(x)與g(x)=logax 的圖像(圖略)。若函數y=f(x)的圖像與函數g(x)=logax(a＞0，且a≠1)的圖像有且僅有4個交點，則a＞1且函數g(x)=logax 的圖像過點(5，1)，即a=5。應選C。

9.提示：設買入股票時的價格為m(m＞0)元，先經歷了3次漲停(每次上漲10%)又經歷了3次跌停(每次下降10%)后的價格為

m×(1+10%)3×(1-10%)3=0.993m＜m，

所以該股民這支股票的盈虧情況(不考慮其他費用)為略有虧損。應選D。

二、填空題

10.提示：因為函數f(x)是定義域為R的奇函數，且在(0，+∞)上是增函數，所以f(0)=0。又因為f(-2)=0，所以f(2)=-f(-2)=0。故該函數有3個零點，這3個零點之和等于0。

12.提示：將函數f(x)=log2(x+a)的零點x=1-a，代入x2-(a+1)x-4(a+5)=0得到(1-a)2-(a+1)(1-a)-4(a+5)=0，解得a=5或a=-2。

13.提示：設使用x 年后花費在該車上的費用達到14.4 萬元。依題意可得14.4(1-0.9x)+2.4x=14.4，化簡可得x-6×0.9x=0。令f(x)=x-6×0.9x，易得f(x)為單調遞增函數。又f(3)=-1.374＜0，f(4)=0.0634＞0，所以函數f(x)在(3，4)上有一個零點。故大約使用4 年后，用在該車上的費用達到14.4萬元。

三、解答題

因為240＞200，所以當每月處理量為400t時，才能使每噸的平均處理成本最低。