分類解析指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)應用問題

田煌英

高考對指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應用的考查常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)。常見的命題角度有：比較大小，簡單的指數(shù)不等式的應用，探究指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)等。

一、比較大小問題

例1已知a=20.2，b=0.40.2，c=0.40.6，則( )。

A.a＞b＞c B.a＞c＞b

C.c＞a＞b D.b＞c＞a

解：由0.2＜0.6，0＜0.4＜1，并結合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知0.40.2＞0.40.6，即b＞c。

因為a=20.2＞1，b=0.40.2＜1，所以a＞b。故a＞b＞c。應選A。

評析：指數(shù)式的比較大小問題，常利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及中間值(0或1)法求解。

二、指數(shù)函數(shù)的圖像恒過定點問題

例2函數(shù)y=ax-2020-3(a＞0 且a≠1)恒過定點( )。

A.(2020，2) B.(2020，-2)

C.(2020，3) D.(2020，-3)

評析：解答本題的關鍵是令a=2和a=4 得到一個方程組求解的。或者，令x=2020，也可求解，同學們不妨試一試。

三、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性問題

A.(1，2)

B.(2，+∞)

C.(0，1)∪(2，+∞)

D.(0，1)

解：當0＜a＜1時，a-2＜0，y=ax單調(diào)遞減，可知f(x)單調(diào)遞增；當1＜a＜2 時，a-2＜0，y=ax單調(diào)遞增，可知f(x)單調(diào)遞減；當a=2時，f(x)=0；當a＞2時，a-2＞0，y=ax單調(diào)遞增，可知f(x)單調(diào)遞增。

由題意可知函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，故a 的取值范圍是(0，1)∪(2，+∞)。應選C。

評析：解題時要注意函數(shù)y=ax(a＞0且a≠1)的單調(diào)性與底數(shù)a 的取值關系。

四、利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍

例4已知函數(shù)f(x)=4x+m·2x-2在區(qū)間[-2，2]上單調(diào)遞增，則實數(shù)m 的取值范圍為( )。

評析：對于同時含有ax與a2x(a＞0 且a≠1)的函數(shù)、方程或不等式問題，通常令t=ax進行換元求解，但要注意新元的取值范圍。

五、指數(shù)函數(shù)的恒成立問題

例5當x ∈(-∞，-1]時，不等式(m2-m)·4x-2x＜0恒成立，則實數(shù)m 的取值范圍是( )。

A.(-2，1) B.(-4，3)

C.(-1，2) D.(-3，4)

評析：函 數(shù)f (x)≤a 恒 成 立，則f(x)max≤a；函 數(shù)f(x)≥a 恒 成 立，則f(x)min≥a。

六、與指數(shù)函數(shù)有關的奇偶性問題

A.一定是奇函數(shù)

B.一定是偶函數(shù)

C.可能是奇函數(shù)

D.可能是偶函數(shù)