函數(shù)零點(diǎn)應(yīng)用問題的熱門考點(diǎn)剖析

王玉新

函數(shù)零點(diǎn)應(yīng)用問題是高考的常考點(diǎn)。下面就常見考點(diǎn)，舉例分析，供大家學(xué)習(xí)與參考。

考點(diǎn)一：應(yīng)用函數(shù)零點(diǎn)求取值范圍

解答這類問題，如果題設(shè)中有關(guān)于函數(shù)零點(diǎn)的條件，就不能把函數(shù)零點(diǎn)看成一個(gè)概念，而應(yīng)該抓住零點(diǎn)與函數(shù)圖像的特征以及零點(diǎn)存在的判斷條件，從而達(dá)到函數(shù)零點(diǎn)的解題功效。

對(duì)于0＜x1＜x0，f x1( )的值恒為正值，即f x1( )的取值范圍是0，+∞( )。

當(dāng)函數(shù)具有單一的單調(diào)性，而又存在零點(diǎn)時(shí)，則在這個(gè)零點(diǎn)的左右兩側(cè)的函數(shù)值異號(hào)，即在這個(gè)零點(diǎn)的左右兩側(cè)函數(shù)值恒為正或恒為負(fù)。本題的解答正是抓住了這一點(diǎn)，解決了函數(shù)值f x1( )的取值范圍。

考點(diǎn)二：應(yīng)用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)或方程的近似解

給定精度ε，用二分法求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)近似值的步驟如下：第1 步，確定區(qū)間[a，b]，驗(yàn)證f(a)·f(b)＜0，給定精度ε；第2步，求區(qū)間(a，b)的中點(diǎn)x1；第3 步，計(jì)算f(x1)，①若f(x1)=0，則x1就是函數(shù)的零點(diǎn)，②若f(a)·f(x1)＜0，則令b=x1(此時(shí)零點(diǎn)x0∈(a，x1))，③若f(x1)·f(b)＜0，則令a=x1(此時(shí)零點(diǎn)x0∈(x1，b))；第4步，判斷是否達(dá)到精度ε，即若|a-b|＜ε，則得到零點(diǎn)值a(或b)，否則重復(fù)步驟2～4。

例2 用二分法求方程ln(2x+6)+2=3x在區(qū)間(1，2)內(nèi)的近似解(精確到0.1)。

解：原方程可化為ln(2x+6)-3x+2=0。令f(x)=ln(2x+6)-3x+2，用計(jì)算器得到如表1所示的對(duì)應(yīng)值。

表1

觀察表中對(duì)應(yīng)值，可知零點(diǎn)在(1，2)內(nèi)。

取區(qū)間中點(diǎn)x1=1.5，由f(1.5)≈-1.00＜0，可知零點(diǎn)在(1，1.5)內(nèi)；再取區(qū)間中點(diǎn)x2=1.25，由f(1.25)≈0.20＞0，可知零點(diǎn)在(1.25，1.5)內(nèi)。

同理取區(qū)間中點(diǎn) x3= 1.375，由f(1.375)≈-0.39＜0，可知零點(diǎn)在(1.25，1.375)內(nèi)；取區(qū)間中點(diǎn)x4=1.3125，由f(1.3125)≈-0.074＜0，可知零點(diǎn)在(1.25，1.3125)內(nèi)。

由于區(qū)間(1.25，1.3125)內(nèi)任一值精確到0.1后都是1.3，故方程ln(2x+6)+2=3x在區(qū)間(1，2)內(nèi)的近似解是1.3。

解答這類問題的關(guān)鍵是要確定零點(diǎn)所在的大致區(qū)間。所求的區(qū)間長(zhǎng)度應(yīng)盡量小，否則會(huì)增加運(yùn)算次數(shù)和運(yùn)算量。解題時(shí)應(yīng)注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性，也應(yīng)注意對(duì)精確度的要求。本題充分展示了利用二分法求方程近似解的過程，同時(shí)使同學(xué)們學(xué)會(huì)了借助精度終止二分法的過程。

考點(diǎn)三：二分法在經(jīng)濟(jì)技術(shù)中的應(yīng)用

市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)價(jià)格自行調(diào)整，若供過于求，價(jià)格會(huì)跌落，若供不應(yīng)求，價(jià)格會(huì)上漲，找一個(gè)價(jià)格平衡點(diǎn)，應(yīng)怎樣找? 不妨試著求一下。

例3某農(nóng)貿(mào)市場(chǎng)出售的西紅柿，當(dāng)價(jià)格上漲時(shí)，供給量相應(yīng)增加，而需求量相應(yīng)減少，具體調(diào)查結(jié)果如表2，表3所示。

表2_

表3

據(jù)以上提供的信息，市場(chǎng)供需平衡點(diǎn)(即供給量和需求量相等時(shí)的單價(jià))應(yīng)在區(qū)間( )。

A.(2.3，2.6) B.(2.4，2.6)

C.(2.6，2.8) D.(2.4，2.8)

解：A 中供給量在(50，70)之間，需求量在(70，75)之間，供給量不足，排除A，B 中的供給量不足。易知D 中的供給量也不足。應(yīng)選C。

或者，建立直角坐標(biāo)系，以橫坐標(biāo)表示供給量(需求量)，縱坐標(biāo)表示價(jià)格，利用所給數(shù)據(jù)在坐標(biāo)系內(nèi)描點(diǎn)，畫出供給量線和需求量線(折線)，即擬合曲線，供給量線和需求量線的交點(diǎn)即為市場(chǎng)供需平衡點(diǎn)(圖略)。從圖中可以看出市場(chǎng)供需平衡點(diǎn)應(yīng)在(2.6，2.8)內(nèi)。

充分閱讀題目，理解題意，把兩表中的信息與題目要求結(jié)合起來，可找答案。利用數(shù)形結(jié)合的思想方法處理本題也是一個(gè)不錯(cuò)的解法。