判斷函數(shù)零點個數(shù)的三種方法

戴彭晴

對于函數(shù)y=f(x)(x∈R)，我們把方程f(x)=0 的根叫作函數(shù)y=f(x)的零點。下面歸納幾種求函數(shù)零點的方法，供大家學習與參考。

方法一：解方程法

解：函數(shù)f(x)的定義域是(3，+∞)。由f(x)=0，可得x=2 或x=1，但1?(3，+∞)，2?(3，+∞)，故函數(shù)f(x)沒有零點。

評析：若函數(shù)f(x)對應方程f(x)=0可解時，通過解方程，則有幾個解就有幾個零點。

例2 求函數(shù)f(x)=ax2-x-1的零點。

評析：求函數(shù)f(x)=ax2-x-1 的零點，要對系數(shù)a 進行分類討論。

方法二：零點存在性定理法

評析：利用零點存在性定理，不僅要判斷函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結合函數(shù)的圖像與性質，才能確定函數(shù)的零點個數(shù)。

方法三：數(shù)形結合法

例4 函數(shù)f(x)=x-3+lnx 的零點個數(shù)為____。

解：令f(x)=x-3+lnx=0，則lnx=3-x，在同一平面直角坐標系內畫出函數(shù)y=lnx 與y=-x+3的圖像，如圖1所示。

由圖可知，函數(shù)y=lnx 與y=-x+3的圖像只有1個交點，即函數(shù)f(x)=x-3+lnx 只有1個零點。

解：求函數(shù)y=f(x)+x-4 的零點個數(shù)，即求函數(shù)y=-x+4與y=f(x)的圖像的交點的個數(shù)。畫出函數(shù)y=-x+4與y=f(x)的圖像(圖略)。由圖可知，函數(shù)y=-x+4與y=f(x)的圖像有2個交點，即函數(shù)y=f(x)+x-4的零點個數(shù)為2。

評析：數(shù)形結合法是求函數(shù)零點個數(shù)的常用方法。這種方法，直觀明了，但需要作出準確的圖像。