多個局部溫度載荷下壓電半導體纖維桿的壓電電子學行為分析1)

程若然 張春利,?,2)

*(浙江大學工程力學系,杭州 310027)

?(浙江省軟體機器人與智能器件研究重點實驗室,杭州 310027)

引言

第三代半導體是兼具壓電性和半導體雙重物理屬性的壓電半導體材料,在未來信息、能源、國防和航空航天等領域有巨大應用前景.事實上,早在20世紀60 年代就有學者嘗試利用壓電半導體的聲電效應實現聲波器件[1].然而,由于早期合成的壓電半導體材料的壓電效應非常微弱,這限制了其在實際工程中的應用.近年來,以氧化鋅(ZnO) 納米結構[2-4]等為代表的具有較大壓電效應的壓電半導體被成功制備,弓起了學者們的廣泛關注,已被用于納米發電機[5-7]、聲電荷輸運器件[8]、場效應晶體管[9-10]和應變/氣體/濕度傳感器等[2,11]功能器件上.近年來,關于壓電半導體的研究主要集中在:通過施加外力,利用壓電效應產生的壓電勢對肖特基結和PN 結結區載流子的輸運、產生、分離和復合等半導體特性的調節與控制上,由此形成了壓電電子學和壓電光電子學[12-13]兩個嶄新的研究領域.

開展壓電半導體多場耦合力學行為方面的理論研究,可為利用壓電電子/光電子學效應提升半導體器件性能或開發新型半導體器件[14]提供重要理論指導.在已有的理論研究中,大多數工作僅考慮壓電效應,研究機械載荷對壓電半導體內多場耦合行為的影響[15-28].例如,Zhang 等[16-17]利用線性化方法理論研究了壓電半導體纖維桿內機械載荷對壓電電子學效應以及機電場的影響.事實上,除了壓電性外,絕大多數壓電半導體材料還具有熱釋電性、熱彈性、熱電效應等與溫度有關的耦合效應[29];因此,溫度的改變必會使其產生極化電勢.無論是考慮消除熱效應(如電子器件散熱、熱疲勞、熱應力造成結構強度問題等)對器件性能的影響,還是主動利用溫度改變產生的極化電勢開發與溫度相關的新型半導體器件,理論研究溫度對壓電半導體結構的多場耦合力學行為的影響都是非常亟需的.最近,Cheng 等[30-31]同時考慮熱彈性、熱釋電性和壓電效應,理論研究了均勻溫度改變對一維壓電半導體桿及一維壓電半導體復合結構內部機電場的影響,結果表明了利用溫度改變調控壓電電子學效應的可能性;隨后,Cheng 等[32]通過對n 型壓電半導體纖維施加一個局部均勻溫度載荷,發現在其內部產生局部勢壘和勢阱––它們阻礙載流子的定向運動,出現了類似PN 結單向導通或開關的性質.可以想象:如果施加多個局部溫度載荷,則會形成多個局部勢壘和勢阱,施加的局部溫度載荷的大小和載荷之間的距離的選擇會使內部呈現出豐富多樣的多場耦合行為.然而,文獻[32]中單個局部溫度載荷的工作不適用于此種情況.因此,我們進一步研究具有代表性的兩個局部溫度載荷作用下壓電半導體纖維桿的多場耦合力學行為.

1 熱壓電半導體纖維桿的一維方程

在此前的工作[30-32]中導出的熱壓電半導體纖維桿的一維方程仍然適用,其詳細推導過程在這里不再贅述,僅列出與本文相關的方程.考慮如圖1 所示的一根均勻摻雜的具有6 mm 對稱性的壓電半導體細長桿,其極化方向沿著軸向x3.

圖1 壓電半導體纖維桿示意圖(6 mm)Fig.1 A piezoelectric semiconductor fiber of crystals of class(6 mm)

在初始參考溫度Θ0下,壓電半導體內部的施主和受主密度分別為和空穴和電子密度分別為p0=和n0=當結構受到一個均勻溫度變化θ=Θ-Θ0到達溫度Θ 時,其內部空穴和電子密度可寫為

其中,Δp和Δn是壓電半導體受到均勻溫度變化后,空穴和電子密度的增量.運動平衡方程、靜電高斯方程、空穴和電子的電荷守恒方程分別為[32]

注意,在式(4)中對于載流子密度增量很小(即Δn＜＜n0和Δp＜＜p0)的情況作了線性化處理.S33和E3分別為軸向應變與電場強度,它們是

式(3)中的等效材料常數為

其中,kB為玻爾茲曼常數,將式(3)～式(5)代入式(2)中可得到4 個關于u3,φ,Δp,Δn的二階常微分方程.根據式(4)中是否使用線性化,這4 個常微分方程可以是線性的或非線性的.

2 多個局部溫度作用下的壓電半導體桿內的多場耦合行為

考慮如圖2 所示的一根n 型摻雜的無限長氧化鋅壓電半導體桿,在無限遠端為電學開路條件,白色區域表示該區域溫度為參考溫度Θ0,綠色區域表示該區域發生了相對溫度改變.當桿在如圖2(a) 所示的2m個不相鄰區域(長度范圍為ai,i=1,2,···,2m),有局部的均勻溫度改變θi,桿內會產生軸向變形.為得到問題的解析解,用方程(4)中線性化的電流模型(注意:線性化方法只適用于小的溫度改變情況).在2m個局部溫度載荷作用下,結構可分為4m+1 個求解區域,數學上很容易由式(2)中的控制方程和式(3)與式(4)的線性本構方程求出問題的解.對應第i個區域內的電子密度增量Δni,電勢φi和位移u3i有如下形式的通解

其中,Ci1,Ci2,···,Ci6為待定系數.由邊界條件、界面連續條件以及選取零電勢點和為消除剛體位移而選取零位移點即可確定所有待定系數,這樣就得到了多個局部溫度載荷作用下的解析解.軸向極化強度和極化電荷密度的表達式可由下式導出

下面以如圖2(b)所示的2 個局部溫度載荷作用的情況為例,這時共有5 個求解區域(x＜-l1,-l1＜x＜-b,|x| ＜b,b＜x＜l2和l2＜x,其中l1=b+a1,l2=b+a2),邊界條件和界面連續條件是

圖2 壓電半導體桿受局部溫度載荷作用示意圖Fig.2 A piezoelectric semiconductor fiber under local temperature changes

此外,我們選擇無窮遠處作為零位移和零電勢的參考點,即

由上述邊界條件及界面連續條件(10)～(15)以及(16),可求出5 個區域內各物理量的解析表達式.對于a1≠a2,θ1≠θ2的情況,各物理場的解的表達式比較繁瑣,這里僅給出a1=a2=a、且左邊為升溫θ、右邊為降溫θ 的特殊情況下的各物理場.在(x＜-l1)區域

在升溫區域(-l1＜x＜-b)

在中間區域(-b＜x＜b)

在降溫區域(b＜x＜l2)

在區域(x＞l2)

3 數值算例與討論

本節首先使用上節得到的各個區域物理場的解析表達式,數值研究溫度變化的大小對各個機電場的影響.然后,再用未作線性化處理的本構方程(4)在有限元軟件COMSOL 中進行模擬計算,研究在溫度變化稍大的情況下,兩個局部溫度變化對壓電半導體纖維桿的機電場及相應電學響應的影響.作為數值算例,我們以均勻摻雜的n 型氧化鋅(ZnO) 半導體材料為例,初始載流子密度為n0=1020m-3,其彈性常數、壓電常數和介電常數取自于文獻[33],熱釋電系數取自于文獻[34],熱膨脹系數取自于文獻[35],載流子遷移率取自于文獻[36],溫度載荷作用位置為a1=a2=b=0.6 μm,溫度變化量為θ=θ1=-θ2=0.05,0.1 和0.3 K (θ1與θ2分別為升溫區域a1與降溫區域a2的溫度變化大小).

圖3 給出了在不同溫度改變下壓電半導體桿中各物理量(電勢、電位移、電極化、有效極化電荷密度、電子密度增量和總電荷密度)的分布情況.可以看到隨著溫度改變量的增大,各個物理場的變化也隨之增大.如果該結構是純壓電材材料,那么各個物理場的分布會比較簡單,但由于壓電半導體內載流子的屏蔽效應影響,各個物理場會受到載流子重分布的影響而變得復雜.圖3(e) 是結構中增量電子密度的分布情況,表明了由于溫度變化弓起的熱釋電效應、熱彈性與壓電效應的耦合對壓電電子學效應的影響.需要注意的是,由于模型中溫度在界面x=l1,x=l2和x=±b處不連續,造成了界面處有極化電荷的存在,使得極化強度P3在界面上不連續(如圖3(c)所示).文獻[32]的結果表明,一個局部的溫度變化使桿中產生一個局部勢壘和一個局部勢阱,從而阻礙壓電半導體內載流子在外加電壓下的定向移動,給出了一種調控壓電半導體內電荷運動的方法.在這里,升溫和降溫的兩個局部溫度變化使壓電半導體桿體內產生了一個較大的勢阱和分布在其兩邊的兩個較小勢壘(如圖3(a)所示),它具有類量子阱的特征.可以看到勢壘和勢阱對溫度的變化非常敏感,隨著溫度變化量的增大,勢壘和勢阱也隨之變大.需要指出的是:由于圖3(a) 中給出的電勢分布是線性化的解,勢壘勢阱關于原點對稱.

當溫度變化量較大時,上述線性化的解不再適用.這里使用本構方程(4)中的非線性電流模型,在COMSOL 的PDE 模塊中對其進行數值模擬計算.實際建模過程要求結構是有限長度的,這里取桿長2L=8.4 μm.初始載流子密度取為n0=1020m-3,溫度改變量θ=θ1=-θ2=1,5,10 K.我們主要關心由兩個局部溫度變化形成的勢壘和勢阱.圖4 是電勢在桿內的分布情況,與圖3(a)比較可以看到:隨著溫度變化量的增大,基于非線性和線性電流模型的計算結果的差別也越來越大.圖4 顯示隨著溫度變化量的增加,勢阱的深度逐漸變深,這使得驅動電子定向運動“躍出”勢阱所需的偏壓增大;而兩邊的勢壘高度變化則相對不明顯.

圖3 溫度改變下各機電場(a)電勢φ;(b)電位移D3;(c)電極化P3;(d)有效極化電荷密度ρP;(e)電子密度增量Δn;(f)總電荷密度Fig.3 Distributions of(a)electric potential φ;(b)electric displacement D3;(c)polarization P3;(d)effective polarization charge density ρP;(e)electron concentration variation Δn;and(f)total charge for different temperature changes

圖3 溫度改變下各機電場(a)電勢φ;(b)電位移D3;(c)電極化P3;(d)有效極化電荷密度ρP;(e)電子密度增量Δn;(f)總電荷密度(續)Fig.3 Distributions of(a)electric potential φ;(b)electric displacement D3;(c)polarization P3;(d)effective polarization charge density ρP;(e)electron concentration variation Δn;and(f)total charge for different temperature changes(continued)

圖4 較大溫度變化下壓電半導體內電勢φ 分布Fig.4 Distributions of electric potential φ under larger temperature changes

另外,伏安特性曲線是壓電半導體器件的一個重要參數.下面,我們在COMSOL 中使用非線性的電流本構模型對此問題進行模擬計算.同樣,考慮一根長為2L=8.4 μm,初始載流子密度為n0=1020m-3,a1=a2=a=b=0.6 μm 的氧化鋅壓電半導體桿.桿的兩端受到大小為2V的偏壓,電學邊界條件如下

從圖5(a)的I–V曲線中可以看到,當升溫區域a1與降溫區域a2的溫度改變量相同時,即θ=θ1=-θ2=10,15,20 K,由溫度改變形成的勢壘/勢阱阻礙了電子在外加偏壓下的定向運動.例如,當θ=20 K 的曲線中,外加偏壓較小時(偏壓小于2.5 V),電子無法通過由溫度變化形成的勢壘/勢阱區域而不能在電路中自由流通;只有當外加偏壓足夠大時,電子在外加偏壓驅動下才能定向移動形成電流,使電路導通.這與文獻[32] 中單個局部溫度變化的結果類似,但需要指出:文獻[32] 中由局部溫度改變產生的勢壘和勢阱并不關于原點對稱,所以其能克服勢壘/勢阱使電路導通的正向偏壓與反向偏壓大小并不相同,相應的I–V曲線也不關于原點反對稱;而由升溫和降溫兩個區域形成的勢壘和勢阱,在控制溫度變化區域范圍相同(a1=a2=a)和溫度改變也相同(θ=θ1=-θ2)的條件下,勢壘和勢阱關于原點對稱,為克服勢壘和勢阱作用而施加的正向和反向偏壓大小相同,這使得其I–V曲線關于原點反對稱.從圖5(b)中可以看到,保持上述各條件不變以及θ=10 K,僅減小溫度載荷作用區域的范圍(如由a=0.6 μm 變化到a=0.4 μm和a=0.2 μm),其I–V曲線依然關于原點反對稱,且在相同條件下,溫度變化區域的范圍越大,形成的勢壘和勢阱就越大,使得在同樣外加偏壓情況下能通過的電子變少、電流減小.

圖5 壓電半導體纖維桿的電學響應(a)不同溫度變化下的I–V 曲線;(b)溫度變化區域大小變化下的I–V 曲線Fig.5 Electrical behavior of piezoelectric semiconductor fiber(a)I–V cures for different temperature changes;(b)I–V cures for different length of a

更為有意義的是:通過合理確定壓電半導體纖維桿受熱載的區域和大小,人為地打破勢壘和勢阱關于原點的對稱性,可以開發具有任意正向與反向導通偏壓可編輯的電子器件.圖6(a) 是兩個局部溫度變化區域范圍相同(a1=a2=0.6 μm),但溫度變化大小不同時的I–V曲線.由圖可知:對于θ1=10 K 和θ2=-20 K 的情況,由于升溫和降溫區溫度變化量不同,打破了I–V曲線的反對稱性,其正向偏壓內的I–V曲線接近于θ1=10 K,θ2=-10 K 情況下的I–V曲線;其反向偏壓內的I–V曲線則接近于θ1=20 K,θ2=-20 K 情況下的I–V曲線.這是因為外加正向偏壓時,為使電路導通,需要克服主要由升溫區域(θ1=10 K)產生的勢阱;當外加反向偏壓時,為使電路導通,需要克服主要由降溫區域(θ2=-20 K)產生的勢阱.圖6(b)是保持升溫和降溫區溫度變化大小(θ1=-θ2=θ)不變、兩個溫度變化區域范圍不同(a1=0.6 μm,a2=0.2 μm)情況下的I–V曲線.可以看到:溫度載荷作用區域的空間不對稱性,也打破了I–V曲線關于原點的反對稱性.當勢壘或勢阱關于原點對稱時,對于正負兩個方向來說,使載流子克服勢壘/勢阱作用在電路中流通所需的偏壓大小相同,此時壓電半導體類似于一個正向和負向導通電壓大小相同的溫敏開關.但人為地打破勢壘和勢阱關于原點的對稱性,可使正負兩個方向的導通電壓不再相同,此時壓電半導體將類似于一個二極管.因此,可以通過設計熱載荷的大小和作用空間位置,開發具有任意導通/擊穿電壓特性的類二極管溫敏電子器件.

圖6 壓電半導體纖維桿的電學響應(a)升溫與降溫溫區域溫度改變不再相同下的I–V 曲線;(b)降溫區域范圍a2 變化下的I–V 曲線Fig.6 Electrical behavior of piezoelectric semiconductor fiber(a)I–V cures for different θ1 and-θ2;(b)I–V cures for different length of a2

4 結論

本文建立了壓電半導體桿在多個局部溫度載荷作用下的一維線性耦合力學模型.壓電半導體纖維桿在一個區域降溫而在另一個區域升溫的情況下,兩個局部溫度改變對半導體桿內各物理量有顯著影響;在壓電半導體內產生了兩個局部勢壘和一個局部勢阱,它使得部分載流子須在特定外加偏壓下才能越過勢壘或者跳出勢阱進行定向移動.勢壘和勢阱的大小取決于溫度的改變量,它決定了載流子在半導體內部的輸運特性.兩局部溫度載荷作用的空間位置和大小的不同,均會打破其I–V曲線關于原點的反對稱性.因此,可以實現基于壓電半導體桿結構的溫敏性電學開關功能.本文研究結果為溫敏型壓電半導體電子學器件的開發與設計提供了理論指導.