基于t 準則的各向異性強度準則及變換應力法1)

萬征 孟達

(中國建筑科學研究院地基基礎研究所,北京 100013)

引言

自然界中的很多天然材料具備強烈的各向異性性質,比如巖石、木材、土壤等材料在宏觀尺度的各個方向上表現出較大的差異性.顯然,從變形以及破壞機理角度解釋,則是由于材料在細觀層次上具有顯著的差異性所導致的.Oda 等[1]的試驗結果證實:對于某些條件下,巖土材料的各向異性則是由于微觀顆粒在自然沉積作用過程中顆粒的空間排列定向性以及土壤團粒膠結過程中的復雜作用而形成的結果.一般而言,對于層狀水平分布的巖土材料,由于在水平方向內顆粒間的隨機分布狀態,顆粒長軸一般會平行于水平沉積面,因而形成了正交各向異性,也可稱之為橫觀各向同性性質.

Abelev 等[2]針對大主應力與沉積面呈不同夾角下的試樣開展了真三軸排水加載測試,結果表明:大主應力方向與沉積面法向一致的試樣表現出了更高的應力比強度,而當大主應力方向與沉積面法向相互垂直時,則表現出了較低的應力比強度.Kirkgard等[3]針對舊金山灣區黏土的試驗結果也得到了相同的結論.Duncan 等[4]首先發現飽和自然沉積黏土在不排水剪切加載測試中隨著大主應力與沉積面夾角的變化會產生差異顯著的應力應變關系結果.Yong等[5]針對靈敏性黏土開展的無側限壓縮強度測試表明,最小強度值僅為最高強度值的60%.Nishimura等[6]發現自然沉積黏土的強度具有很強的沉積方向依賴性.同樣,Yamada 等[7],Ochiai 等[8],Miura 等[9],Hight 等[10],Tatsuoka 等[11]以及Pradhan 等[12]針對砂土所開展的一系列三軸壓縮、真三軸加載以及空心圓柱扭剪等復雜加載測試結果表明:自然沉積砂土強度以及應力應變關系特性同樣具有強烈的沉積方向依賴性.為描述橫觀各向同性性質,從細觀機理上揭示與描述上述各向異性性質強弱程度,Oda 等[13]建議采用組構張量來描述微觀顆粒形狀信息的長細比以及長軸在空間中分布方向等宏觀統計信息.為了能夠考慮各向異性性質對于砂土應力應變關系以及強度特性的影響,Li 等[14]和Dafalias 等[15]建議將一般應力量σi j與組構張量Fij進行并乘以得到一組反映各向異性性質的聯合應力不變量,使用上述聯合應力不變量來構建彈塑性本構模型.Pietruszczak 等[16]和Mroz 等[17]建議了一個隨組構量變化的黏聚力和內摩擦角的強度指標,以此反映各向異性對于臨界狀態的影響.Hashiguchi 等[18]為了能夠反映原生各向異性性質,將組構張量中的三個主分量直接弓入到本構模型中屈服面的轉軸分量中,通過屈服面在應力空間中初始位置的不同來反映各向異性程度.

國內學者對于各向異性的研究一直處于熱點狀態.張連衛等[19]基于SMP 準則,將構成SMP 面的三個平面的摩擦角表達為該平面隨沉積面夾角變化的變量,構造了反映沉積面信息的ASMP 準則.曹威等[20]在SMP 準則基礎上,將組構張量參量弓入到摩擦法則表達式中,以此能夠反映橫觀各向同性砂土的各向異性性質.姚仰平等[21]采用SMP 空間滑移面與沉積面之間的夾角作為基本變量,構造了反映橫觀各向同性材料強度的應力比公式.Kong 等[22]采用考慮了巖土組構張量修正的加載應力量,并與各向同性SMP 準則相結合,得到了考慮微觀結構影響的橫觀各向同性強度準則.路德春等[23]采用微觀結構張量在滑動面法線方向上的投影,定義了一個反映三維橫觀各向同性強度參數,并利用此參數來修正SMP 準則,據此建立了一個反映橫觀各向同性土體的強度準則.劉洋等[24-26]也采用反映微觀信息的組構張量與應力相結合的方法對各向異性性質進行了研究.此外,黃茂松等[27]從微觀機理出發,也對各向異性性質進行了探討.王國盛等[28]針對混凝土的加載速率效應提出了S 強度準則.高江平等[29]考慮菱形十二面單元體主剪面上三個主剪應力與三個正應力都會對材料破壞產生影響,建議了三剪應力統一強度準則.

上述已提出的各類各向異性準則,按照構建的思路來分類,可大致分為如下幾類:(1)將大主應力與沉積面夾角作為反映各向異性程度的變量來對已有的各向同性強度準則進行修正; (2)根據組構張量來構造各向異性狀態變量,用來修正既有各向同性準則;(3)利用組構張量與應力量進行并乘得到聯合應力不變量來修正各向同性準則;(4)基于SMP 準則或者某一強度準則,用物理破壞面與沉積面夾角作為狀態變量來修正各向同性準則;(5)擴展經典各向同性準則為各向異性強度準則.

上述各種方法各有利弊,采用大主應力與沉積面夾角來作為判斷各向異性程度發揮的變量,顯然比較直觀,然而在某些情況下,比如平面應變條件下,各向異性強度值與上述夾角并不呈現單調關系,而是形成“V” 字形曲線,顯然若采用上述加載角與沉積面夾角作為各向異性狀態變量存在弊端.利用組構張量表達的各向異性程度狀態變量來直接修正既有的強度準則,可能具有一定的實用性,但仍然不具有普適性.利用組構張量與普通應力量按照某種規則相結合為聯合應力不變量的方法能夠在一定程度上考慮了各向異性對于應力量的修正作用,但聯合應力不變量的構造方法目前只是猜想階段,缺乏嚴謹的理論證明.采用基于某種準則的破壞面與沉積面的夾角作為狀態變量,由于破壞面與沉積面都具有明確的物理概念,且夾角與各向異性強度呈現單調關系,表明具有較好的歸一性.但在某些路徑下,如三軸壓縮或三軸伸長加載情況下,會出現較多的破壞面,需要進行篩選,選擇其中最小強度值,這可能會違背物質客觀性原理.利用經典準則擴展為各向異性準則,只是對原有準則在一定程度上的修補,缺乏物理機理以及普適性.

基于已提出的適用于具有凝聚力以及摩擦性材料的t 強度準則[30-34],在有效滑移面的物理概念上,考慮沉積面的位置關系,利用有效滑移面與材料沉積面之間夾角作為反映各向異性程度的狀態變量.由于t 準則在偏平面上是能夠反映包括金屬材料的Von-Mises 準則到巖土材料的SMP 準則,在子午面上是冪函數表達式,因而其適用范圍大,且具有明確的物理涵義.按照上述各向異性狀態變量所構建的各向異性強度準則,能夠反映諸多材料的各向異性性質,如金屬、巖石、混凝土、黏土、砂土等.通過上述各向異性強度準則公式,在主應力空間中按照將各向異性t 準則變換為Von-Mises 準則的變換思路,推導了變換應力公式,該變換應力公式實質上是從各向異性應力空間到各向同性應力空間的轉換方程.

1 t 強度準則

根據已提出的t 強度準則,如圖1 所示,立方體表示材料單元,當材料發生破壞時,按照應力比的思想,則假設存在空間有效滑移面ABC,在ABC面上等效主剪應力τen與主法向力σen之比成為一個材料常數.其中φe12表示由第一、第二主應力所構成的有效摩擦角,而φe23表示由第二、第三主應力所構成的有效摩擦角.

圖1 空間坐標系中的滑移面Fig.1 The slip plane in three dimensional space coordinate

令EA=1,根據三角函數關系,可推導得到如下關系:

在直角三角形AEB中,tan(45°-φe13/2)=EA/EB,根據三角函數關系求解上式可得到如下公式

同理亦可得到

可設置一個表征摩擦性與凝聚性權重分配的參數t,且0 ＜t＜1,由此可得

弓入參數t用來反映摩擦力與凝聚力的比例權重,兩者所對應的有效摩擦角可分別由τ–σ 空間內的摩爾圓外切直線的反正切值來表示,相應的直線截距則可分別表示為

由圖可見,由于確定了∠ABE與∠ACE,則相應的空間滑移面為平面的假設前提下則已完全確定下來,另外的σ1,σ2之間構成的夾角則由三角函數的正切值定義可求出

可解出

根據式(1)、式(2)的關系,將其代入可得

式(10)即為空間有效滑移面中用以確定有效滑移面(ESMP)空間位置的三個角的關系式.

如圖2 所示,若需確定有效滑移面ESMP,則需要先確定該面的法線方向,法線方向可由余弦來表示.

圖2 空間坐標系中的滑移面與沉積面Fig.2 The slip plane and depositional plane in three dimensional space coordinate

空間滑移面的方向余弦可表示為ω1(l1,m1,n1),而巖土材料在空間坐標系中存在一個空間沉積面(DP),此空間沉積面可以用該面的方向向量表示,則可令空間沉積面的方向余弦表示為:ω2(l2,m2,n2),則兩空間平面的夾角可由兩方向向量點積反余弦值表示為

強度可由應力比表示,由于強度值隨上述夾角α變化,顯然,當α=αmin=0°時,則空間滑移面與空間沉積面相重合,此時由于沉積面之間聯結最為薄弱,因而強度最低,當α=αmax時,則空間滑移面與空間沉積面呈現最大夾角狀態,此時最難破壞,因而強度最高,而當0°＜α ＜αmax時,則應力比介于上述兩者之間,由此可見,可利用上述兩者極端應力比強度值,選用合理的插值函數進行表達,根據上述思路,可利用比較簡單的內插函數來表示各向異性強度表達式

空間沉積面法向單位向量為ω2,法向量在3 個空間坐標方向的投影分別如圖3 所示,ω2與xy平面夾角為α1,其在xy平面的投影向量與x軸夾角為α2.則顯然,空間沉積面法向方向可表示為

圖3 空間坐標系中沉積面方向投影Fig.3 The project vector of depositional plane in three dimensional space coordinate

首先先求出有效空間滑移面與沉積面夾角為90°時的強度值.

令

則有效空間滑移面法向向量分量可表示為

根據三角函數關系,可知

根據對正四面體AEBC 的力平衡關系,并利用上述公式,可得到等效正應力公式.

則等效正應力可表示為

經推導可得到如下公式

其中,φmo表示空間有效滑移面的內摩擦角.

當處于三軸壓縮時,則式(27)可表達為

此時,大小主應力分別可表示為

將式(28)代入式(26)中,可得到關于p,qc的函數為

采用破壞時應力比的表示方法,M=qc/p,則可表示為

其中,M表示三軸壓縮時所對應的破壞應力比.若三軸伸長下的破壞應力比為Me,且設三軸伸長破壞應力比與三軸壓縮破壞應力比之比值為λ,則Me=λM

由于在三軸壓縮路徑下,方程式(26)、式(29)完全相等,因此得到

式(35)即為偏平面上廣義偏應力強度公式.

子午面上可采用考慮靜水壓力效應的關于平均應力的雙曲線函數來作為強度表達式

2 三維正交各向異性的特征沉積面

由上節可知,對于橫觀各向同性而言,其三維立方體只存在一個沉積面,對于一般情況而言,存在三維正交各向異性固體材料,其3 個方向都存在物理上的沉積面.如圖4 所示.考慮沿著xyz三方向都存在著沉積面,3 個沉積面兩兩正交,且沿著3 個方向的特征沉積面的沉積厚度分別為hx,hy,hz.則顯然由圖可見

圖4 三維空間坐標系中的三維特征沉積面Fig.4 Three dimension characteristic depositional plane in three dimensional space coordinate

上述3 個方向的沉積面厚度為沉積面的特征尺寸,表征沿該長度方向的性質均勻化的最小單位.而同理,在y以及z方向都存在類似的沉積特征厚度.由上述3 個特征沉積厚度,假定3 個正交沉積面同時發揮抵抗破壞的貢獻影響力,可由此得到空間的三維特征沉積面,空間四面體為LMOP.空間特征沉積面的法向向量可由MO 與MP 的叉積得到.

空間特征沉積面法向單位向量為

當巖土材料為二維正交各向異性情況時,此時其中一個方向的特征尺寸顯然為無窮大,此時存在3種情形:

(1)當hx=+∞時,則顯然式(42)可退化為如下公式

顯然由式(43)可知,該二維特征沉積面平行于x軸.

(2)當hy=+∞時,則顯然式(42)可退化為如下公式

上述沉積面平行于y軸.

(3)當hz=+∞時,則顯然式(42)可退化為如下公式

當巖土材料退化為一維各向異性,即為橫觀各向同性情形時,此時其沉積面仍分為3 種情形:

(1)當hx=+∞,hy=+∞同時滿足,此時式(42)退化為顯然此時法向方向為沿著z軸方向.

(2)當hy=+∞,hz=+∞同時滿足,此時式(42)退化為

顯然此時法向方向為沿著x軸方向.

(3)當hz=+∞,hx=+∞同時滿足,此時式(42)退化為

顯然此時法向方向為沿著y軸方向.

3 橫觀各向同性t 強度準則

對于各向異性的考慮,需要將式(36) 中應力比強度Mf表示為有效滑移面與三維特征沉積面夾角的函數即可.則顯然需要構造一個表示夾角的關系式.首先需滿足以下兩個條件:

(1) 首先滿足夾角越大,則強度值越大的單調規律;

(2)需要構造一個各向同性函數,以此滿足物質客觀性原理.

其中,右端的φmo表示有效滑移面的內摩擦角,在各向異性情形下,通常tanφmo并非恒定值,可由函數tanφmo=F(α,M)來表示.α 表示滑移面與三維特征沉積面的夾角,各向異性程度的度量參數,因此上述函數包含了描述各向異性方向以及各向異性程度雙重信息.

同理由有效滑移面與三維特征沉積面夾角公式由兩個面法向向量的點積反余弦來表示,可表示為如下公式

由于在三軸壓縮條件下,可得到式(49) 的簡化表達式為

采用大主應力與沉積面之間夾角δ 作為衡量各向異性對強度應力比的主要影響變量是慣常的一種做法,上述方法可以部分的考慮各向異性沉積面對于強度的貢獻.然而,由Matsuoka 等[35]關于砂土在平面應變的強度測試結果表明,平面應變強度與δ 是非單調關系,兩者關系出現先減小后增大的規律特點.但若是采用空間滑動面與沉積面夾角ζ 與強度值建立關系,則會發現兩者具有單調關系.

通過類比橫觀各向同性沉積面與空間滑移面之間夾角與強度應力比的單調試驗關系結果,進一步可將其推廣為三維正交各向異性的情形,此時,三維特征沉積面綜合考慮了3 個主方向的沉積面的影響,在各自3 個主方向上由沉積面特征厚度來確定該方向上的特征尺度,綜合反映在三維特征沉積面上.該三維特征沉積面與空間滑移面之間的夾角與最終強度應力比表現為單調關系.可將其簡單地由如下拋物線型公式來表達

其中,x 表示max 的簡稱,表示最大值,而n 為min 的縮寫,表示為最小值.分析式(51) 可知,強度應力比隨夾角β 呈現二次函數的單調遞增關系,完全符合試驗點的單調遞增規律特點.

當為橫觀各向同性情形時,大主應力方向垂直于沉積面時,此時存在最大的角度βx.由類比可知,當大主應力方向與三維特征沉積面垂直時,此時存在最大角度βx.而當ESMP 面與三維特征沉積面相重合時,則顯然存在最小的夾角βn=0.對于Mx的確定,可由圖5 所示加載工況,根據三維特征沉積面與大主應力軸相垂直條件下的三軸壓縮試驗來確定最終的內摩擦角,由摩擦角可通過式(52)計算得到.而Mn則針對的是當β=0 時候的強度應力比,顯然直接確定較為困難,可間接通過由順沉積面的三軸壓縮試驗得到的強度值M0來求出,由圖6 可見,采用的是大主應力方向與沉積面法向相互垂直時候的加載工況,M0為此種加載條件下的強度應力比.其中表達式可表示為

強度應力比最小值Mn可通過式(52)變形導出,可由通過常規試驗測試得到的強度值M0以及最大值Mx的關系表達式表達.由于三軸壓縮條件,因而EC0=1,聯合式(51)可得到

圖5 大主應力與三維特征沉積面垂直時的三軸壓縮示意圖Fig.5 Triaxial compression condition with major principal stress vertical to the depositional plane

圖6 大主應力與三維特征沉積面平行時的三軸壓縮示意圖Fig.6 Triaxial compression condition with major principal stress parallel to the depositional plane

其中

考察各向異性性質對于三軸壓縮強度的影響規律,由于微觀顆粒在重力場及外部自然作用下會形成一定的排序分布,在空間中微觀顆粒會產生定向性,若用空間橢球體作為對長方體顆粒的近似,則長軸會平行于沉積方向,而垂直于沉積面的法向方向是沉積面的空間對稱軸.由于長軸方向平行于沉積面的分布形態是形成巖土體的一種穩態結構,因而,在這種作用下形成的巖土體在自然界非常普遍.下面關于空間沉積面在空間中的排布方式,按照研究方便考慮3 種特殊情況,分別對應空間有效滑移面與沉積面的3 個特殊位置.

當為橫觀各向同性情況時,此時只沿著一個方向分布沉積面.

(1) 考察式(49),若當沉積面法向方向與z軸相一致時,則可知,hx=∞,hy=∞,則滑移面與沉積面夾角表示為

(2)當沉積面法向方向與x軸相一致時,則可知,hz=∞,hy=∞,則滑移面與沉積面夾角表示為

(3)當沉積面法向方向與y軸相一致時,則可知,hz=∞,hx=∞,則滑移面與沉積面夾角表示為

而當處于二維各向異性情況時,此時也存在3 種情況.

(1)當沉積面沿x與y軸均存在分布時,則此時可知hz=∞,由此可知滑移面與特征沉積面夾角表示為

(2)當沉積面沿y與z軸均存在分布時,則此時可知hx=∞,由此可知滑移面與特征沉積面夾角表示為

(3)當沉積面沿z與x軸均存在分布時,則此時可知hy=∞,由此可知滑移面與特征沉積面夾角表示為

綜合考慮偏平面與子午面上強度表達式,聯立式(26)、式(35)、式(36)、式(51),可得到最終關于各向異性的巖土非線性強度準則

式(65)即為表示各向異性強度準則表達式.

下面具體討論當參量取值不同時強度準則的表現形式.

(1) 對于各向異性強度準則偏平面表示式,式(51) 中當Mβ與Mx,M0各不相等時,則表示的是一般的橫觀各向異性強度應力比,此時,Mβ為一隨β 角變化的強度值,此時強度準則為三維正交各向異性a準則.

(2) 對于各向異性強度準則偏平面表示式,式(51)中當Mβ=Mx=M0時,則由于其兩相互垂直方向的應力比強度相同,則介于兩者之間的任意應力比強度值都相同,則此時,Mβ為一恒定值.當a13=a23時,則此時強度準則退化為a準則.

(3)進一步,當a13=a23=0 時,則強度準則退化為偏平面上為SMP 準則的非線性強度準則.

(4)當Mx與M0都不為零,而a13=a23=0 時,則強度準則退化為偏平面上為各向異性SMP 準則的非線性強度準則.

4 主要參數意義及確定方法

4.1 參數t 對于偏平面上強度準則曲線的影響

由于該強度準則的核心是由比例因子參數t作為控制偏平面上形狀的主要因素,因此命名該準則為t 準則.由圖7 可見,反映摩擦性與凝聚性權重的比例因子參數t對于偏平面上不同應力羅德角下材料的強度特性影響顯著.當t=0 時,此時,由于有效滑移角為零,因而材料破壞只受到偏差應力強度控制,因而退化為廣義Mises 強度準則,反映的是金屬材料的宏觀破壞性質.當t=1 時,則t 準則退化為SMP 準則,反映的是純摩擦性的材料破壞特性,而當0 ＜t＜1 時,則反映的是具有部分摩擦部分凝聚性材料的破壞特性.而當t＞1 時,則反映的是受應力羅德角影響更為顯著的材料破壞特性,如圖中t=2 時的破壞曲線,反映了偏平面上破壞曲線逐漸趨向于等三角形曲線的特點.

圖7 各向同性不同t 值下偏平面上的破壞曲面Fig.7 Failure surfaces with different a value at deviatoric plane in isotropic stress space

由圖7 可見,顯然對于任意t值下,在三軸壓縮所對應的偏應力強度值恒定,但對于其他應力羅德角下的廣義偏應力強度值,卻均不同,因而,顯然可將t值與描述偏平面上曲線形狀特性相聯系.觀察圖7 可知,由于對應三軸伸長的偏應力強度值各個不同,因而,可將三軸伸長偏應力強度值與對應的三軸壓縮偏應力強度值的比值λ=qc/qe,作為確定t值參數的依據.根據近似,建議可取如下公式作為確定參數t的表達式

分析上式,顯然當λ=1 時,則此時t=0,對應的是廣義Mises 準則,而λ=3/(3+M)時,則此時t=1,對應的是SMP 準則.

圖8 所示分別為不同t值下的破壞面形態,為了便于觀察,取Mf不同值時,即對Mf由小到大分別為0.7,1.0,1.4,1.8,2.4 下的破壞面分別對應著圖8 中由內到外的空間破壞面,其所對應的t值分別為0,0.3,0.6,0.8,1.0.由圖可見,當t值由小到大變化時,對應的破壞面的形態在偏平面上由圓形逐漸過渡為較為尖銳的曲邊三角形形態.

圖8 主應力空間中參數t 及Mf 不同值下的三維空間破壞面Fig.8 Failure surfaces in 3d space under different values of parameters t and Mf in the principal stress space

對于各向同性a準則,當參數a變化時,由圖9可見,隨著a值由0～1 逐漸增大,偏平面上強度曲線由表示SMP 準則的曲邊三角形逐步過渡到表示Von-Mises 準則的圓形曲線.由此可見,參數a關于中主應力對于強度應力比的影響非常明確直接,可以直接決定中主應力對于強度的貢獻程度.

4.2 參數n 意義及確定

圖9 大主應力與沉積面垂直時的三軸壓縮及三軸伸長示意圖Fig.9 Triaxial compression and triaxial extension conditions with major principal stress vertical to the depositional plane

圖10 不同冪參數n 值下破壞曲線形態Fig.10 Failure curves with different n value

從圖10 可看出,在子午面上,由下到上分別對應不同n值下的破壞曲線,分別對應n=0.2,0.4,0.6,0.8,1.0 時的破壞曲線.由此可看出,參數n對于破壞形態的影響主要體現在兩個方面.第一,在子午面上,隨著n值增大,則子午面上破壞線逐漸趨近于一條斜直線,隨著n值減小逐漸趨近于零,則破壞線逐漸趨近于平行于球應力軸的水平直線,當為水平直線時,則破壞時對應的廣義偏應力恒定不變,即不受靜水壓力影響,起決定作用的是廣義偏應力.而當n值介于0 與1 之間時,則子午面上對應的是一條冪函數曲線,隨著球應力的增大,則廣義偏應力也逐漸增大,但增大率逐漸減小,體現了非線性特點,表明靜水壓力對于三軸壓縮下的剪切強度有直接影響.第二,在偏平面上,隨著n值的增大,則三軸壓縮對應的廣義偏應力強度相應增大,在相同的球應力下,隨著三軸壓縮剪切強度的增大,則不同羅德角作用下的強度值差異逐漸顯著,也就是應力誘導各向異性程度逐漸加深.

通過式(36)變形可得到如下的關系式

以等式左右兩端的對數分別為變量,則上述公式顯然是關于參數n的一次函數,利用三軸壓縮試驗結果,可將對應不同靜水壓力下的剪切強度整理在對數坐標系內,擬合出的直線型曲線,斜率為n,而截距值為lnMf.

4.3 參數σ 涵義及確定

σ0為強度曲線與靜水壓力軸的左交點值,其物理意義表示材料在拉伸條件下的強度值,可以反映出材料的凝聚力特性.在實際狀態中三向拉伸作用下的強度值,一般很難實現,對于無黏性土,則取為0.對于具有拉伸強度的材料,如混凝土等,根據過鎮海的建議,可將其取為單軸拉伸強度值的0.9 倍.

4.4 參數pr 涵義及確定

參數pr反映在一定靜水壓力下,將剪切強度q歸一化的特征壓力.另外,也起到將靜水壓力無量綱化的作用,通常在砂土等散粒體條件下,可取為一個大氣壓力值.參數pr的確定可根據式(36),由對試驗結果整理在對數坐標系內,根據擬合出來的直線來確定參數pr的值.

4.5 參數Mx 與M0 涵義及確定

作為反映各向異性的參數,通常只需確定沉積面與空間有效滑移面的呈現最大夾角和最小夾角狀態下的三軸壓縮強度值,即可得到相應的Mx與Mn值.Mx根據大主應力方向垂直于沉積面加載條件下的三軸壓縮強度值來測試得到,而Mn可間接通過M0用式(53)求取得到,而M0則是利用大主應力與沉積面順層方向的三軸壓縮強度測試得到.

5 各向異性對強度曲線影響

由圖3 可知,當空間沉積面的法線不與三維空間坐標軸的任一軸重合時,即空間沉積面處于三維空間的一般位置時,則沉積面與有效滑移面的夾角可由式(49)來表述,通過式(51)可知,應力比強度值是夾角β 的單增函數.當沉積面空間位置一旦確定后則是固定不變的,而隨著主應力大小以及方向的調整,顯然有效滑移面始終是動態變化的,在非三軸壓縮條件下,則其強度值始終是小于Mx,隨著夾角β在零度附近變化,則強度值也會相應的升高或降低,若按照大主應力與沉積面法向夾角為加載角的定義,則強度值會隨著加載角產生先減小后增大的規律.

如圖11 所示,為便于描述,按照主應力的變化在偏平面上將全部區域分為3 個象限I,II,III.

圖11 描述橫觀各向同性狀態的偏平面空間區劃圖Fig.11 Zones describing transverse isotropic state in deviatoric plane

(1)當沉積面法線方向與x軸,即σ1方向相一致時,則顯然,由圖12 可見,當為各向同性強度準則時,如圖12 中的虛線與點劃線,即當Mf為恒定值時,則破壞曲線在偏平面上為一個幾何對稱圖形,對于實線,及Mf為一個變量時,則此時的破壞曲線僅僅關于材料主軸對稱.

由圖13 可見,當沉積面垂直于y軸時,則此時最大應力比為位于與σ2軸相重合的縱軸上,而兩側的幾何破壞線關于該軸幾何對稱分布.

由圖14 可見,當沉積面垂直于z軸時,則此時最大應力比為位于與σ3軸相重合的軸線上,而兩側的幾何破壞線關于該軸幾何對稱分布.

圖12 各向異性強度準則(沉積面垂直于x 軸)Fig.12 Failure surface of anisotropic criterion(depositional plane vertical to the x axis)

圖13 各向異性強度準則(沉積面垂直于y 軸)Fig.13 Failure surface of anisotropic criterion(depositional plane vertical to the y axis)

圖14 各向異性強度準則(沉積面垂直于z 軸)Fig.14 Failure surface of anisotropic criterion(depositional plane vertical to the z axis)

綜合圖12～圖14 可見,采用考慮有效滑移面與沉積面的夾角作為反映各向異性程度的狀態量,能夠有效地反映出材料本身沉積面對于強度應力比的影響規律.

6 基于橫觀各向同性t 準則的變換應力公式

為了可簡單合理的將已有的基于p-q空間的二維彈塑性模型推廣到能應用于描述原生各向異性特性對本構關系的影響規律,基于所提的橫觀各向同性a準則,將其應用于構造變換應力方程[36-38],由此可將橫觀各向同性應力空間轉變為各向同性應力空間.其基本思路是,先將一般的考慮各向異性的廣義偏應力q進行歸一化處理,即將對于某一特定加載條件下的q轉換為qf,即第一步實現了將各向異性轉換為各向同性,qf即為對應大主應力方向與沉積面法向方向一致的三軸壓縮的廣義偏應力強度值.然后再通過將各個偏應力分量放大到對應von-Mises圓的對應點上,第二步是將各向同性應力空間中主應力對應力比強度的影響歸一化處理.通過上述兩步驟,即可實現由各向異性應力空間與各向同性應力空間的轉換.

由Satake 等針對純摩擦特性所提出的基于SMP準則的形狀函數,基于摩擦角的概念而提出,因而本文中的有效摩擦角可將其替換以得到基于有效摩擦角的形狀函數

EB,EC是σ1,σ2,σ3的函數,具體見式(6)、式(7)、式(26).

其中,θ 為應力羅德角,可表示為

對應a準則的偏平面上的形狀函數可表示為

由于已知有基于a準則的形狀函數,因此,可得到在對應任意一個球應力p下的三軸壓縮路徑下的廣義偏應力qc,表示為

考慮到偏平面上各向異性的修正,最終得到偏平面上考慮各向異性的a準則

基于各向異性強度準則的轉換應力公式可表達為

將其推廣為一般應力表示的轉換應力公式

式(77)中?qac/?σi可表示為

式(55)～式(63)為將普通應力轉換為變換應力空間的變換應力公式,而式(64)～式(88)為將變換應力空間中變換應力應用到具體本構模型中時微分的導函數公式.

7 平面應變條件下的t 準則公式

平面應變條件是自然界以及工程實踐中常常遇到的某種約束條件,指的是三維條件下材料某一方向的尺寸遠大于另兩個相近的方向上的尺寸,比如堤壩、路基或者擋土墻等工程中的土體約束作用.將所提t 準則應用于平面應變約束下的工況,一方面可將其具體應用化,另一方面可對于所提準則進行相應的檢驗.

假設屈服準則表達式為

且屈服準則為理想彈塑性屈服面,則對中主應變的塑性增量,可由一致性條件表達為

由于理想彈塑性的流動法則可知,當進入塑性流動狀態后,應變增量完全為塑性應變增量,此時,彈性應變增量為零,而由平面應變條件可知,中主應變增量為零,因此可得

由于塑性因子λ 在加載階段為大于零的數值因此顯然可知,平面應變條件的等價方程為

由鏈式法則,可依次求取得到

其余變量可參見式(85)～式(88).

8 準則及變換應力法的試驗驗證

為了便于對所提各向異性t 準則及其變換應力公式進行驗證,分別采用如下的巖土材料,在真三軸以及平面應變加載條件下的破壞以及應力應變關系試驗結果進行對比分析.表1 為所有巖土材料的參數.

8.1 真三軸強度準則預測

圖15 中圓圈表示Lade 等[39]關于Grundite 黏土的真三軸加載測試結果,對該試驗結果在圖15 所示的偏平面進行預測對比.黏土除了具備應力誘導各向異性,也就是隨著應力羅德角的不同而表現出不同的偏應力強度以外,還具有一定程度的原生各向異性,也就是由于沉積過程的特點所形成的近似為橫觀各向同性的材料.采用所提t 準則可以較好地描述該黏土在真三軸下的強度特性.

表1 巖土材料參數Table 1 Geomaterial parameters

圖15 偏平面Grundite 黏土的真三軸測試結果與預測對比Fig.15 Comparison results with test data and prediction for Grundite clay in deviatoric plane

圖16 中測試點為Lam 等[40]關于Toyoura 砂土的真三軸測試結果.由圖可見,測試點在偏平面上形成了較為尖銳的曲邊三角形形態,且三軸伸長較三軸壓縮強度值具有顯著的減小特點.采用所提準則可以較好地模擬砂土的這種特性.

圖17 中離散點為Mogi[41]關于粗面巖巖石的真三軸測試結果.巖石具有更為顯著的原生各向異性性質,且應力誘導各向異性對于強度值的影響也很明顯.圖中采用所提準則可以很好地預測巖石的真三軸強度特性.

圖16 偏平面Toyoura 砂土的真三軸測試結果與預測對比Fig.16 Comparison results with test data and prediction for Toyoura sand in deviatoric plane

圖17 偏平面粗面巖石的真三軸測試結果與預測對比Fig.17 Comparison results with test data and prediction for Trachyte rock in deviatoric plane

8.2 平面應變條件強度準則預測

圖18 中離散點為Park 等[42]關于3 種砂土在平面應變條件下的內摩擦角特性得到的試驗研究結果.其中角度δ 表示大主應力與沉積面法線的夾角,而φ 表示內摩擦角.由試驗曲線可見,隨著大主應力與沉積面法線夾角δ 的單調增大,從0°到90°區間,內摩擦角呈現先減小后增大的規律特點,而對于Monetary 砂土,則呈現了單調減小的規律,與Hostun 砂土和Silica 砂土的規律不一致,表明Monetary 砂土在δ趨近90°時的測試值有待商榷.采用所提的t 準則在平面應變條件下,3 條曲線也呈現了先減小后增大的規律特點,且δ=0°對應的值要大于δ=90°對應的值.

圖18 平面應變下3 種砂土內摩擦角測試結果與預測對比Fig.18 Comparison results with test data and prediction for three kinds of sand in plane strain condition

圖19 平面應變下兩種砂土內摩擦角測試結果與預測對比Fig.19 Comparison results with test data and prediction for two kinds of sand in plane strain condition

圖19 中測試點為Oda 等[43]關于兩種Toyoura砂土在平面應變條件下的內摩擦角值.δ 角仍與前述相同,由兩種測試結果可見,內摩擦角曲線隨δ 角的曲線形態表現為明顯的“湯匙”形狀.一方面仍然是δ=0°對應的值要大于δ=90°對應的內摩擦角值,另一方面,最小的內摩擦角所對應的δ 角向右側偏移,集中在60°～80°之間.說明當δ 角在最低曲線時刻,此時破壞面與沉積面相互平行,此時達到最小的內摩擦角.采用所提準則可以較好地描述上述特性.

8.3 變換應力法應用預測

圖20 中測試點為Ward 等[44]和Indraratna 等[45]關于倫敦裂隙黏土所做的常規不排水三軸壓縮測試結果.顯然裂隙可以視為某種沉積面的弱化物態狀態,則圖中廣義偏應力強度分為大、中、小3 條曲線,分別對應著大主應力方向與裂隙面法線夾角為0°以及某種銳角,和90°三種情況下的測試結果.采用基于t 準則的變換應力法修正UH 模型[46],用于反映超固結度以及裂隙等原生各向異性對應力應變關系的影響.由圖可見,采用基于t 準則的變換應力法能夠有效地反映原生各向異性所帶來的對應力應變關系的影響.

圖20 倫敦裂隙黏土應力應變關系測試結果與預測對比Fig.20 Comparison results with test data and prediction of stress-strain relationship for fissured London clay

圖21～圖28 中離散點為Yang 等[47]關于Leighton Buzzard 砂土在原生各向異性以及應力羅德角影響下的應力應變關系測試結果.圖中連續曲線為采用所提的變換應力法修正的UH 模型做出的預測結果.其中,對于原生各向異性的影響,利用大主應力與沉積面法線夾角δ 呈現為0°,30°,60°,90°四種情況作為初始加載條件,在上述4 種工況下再分別考察b=0,0.2,0.5,1 下的應力應變關系曲線.

圖21 為大主應力垂直于沉積面加載時的測試與預測對比結果,由圖21 可見,應力比與偏應變的關系,采用修正后模型可以較好地反映b值增大,而應力比強度減小的規律,以及應變軟化現象.圖22 為所對應的體應變隨偏應變的關系對比結果,隨著b值的增大剪脹體應變逐漸減小,所用模型可較好地反映上述特點.

圖23 與圖24 為對應δ=30°下的應力應變關系對比結果.除了反映隨b值增大應力比峰值減小的規律以外,由于δ 的增大,對應的各條曲線的峰值應力比較δ=0°工況下有所減小,采用所提變換應力法修正后模型可較好地反映上述規律.圖24 中體變特性也能用模型較好的描述.

圖21 δ=0° 條件下Leighton Buzzard 砂土應力比與偏應變關系測試結果與預測對比Fig.21 Comparison results with test data and prediction of stress ratio and deviatoric strain relationship for Leighton Buzzard sand under δ=0°

圖22 δ=0° 條件下Leighton Buzzard 砂土體應變與偏應變關系測試結果與預測對比Fig.22 Comparison results with test data and prediction of volume strain and deviatoric strain relationship for Leighton Buzzard sand under δ=0°

圖25 與圖26 為對應δ=60°下的應力應變關系對比結果.由圖可見,隨著δ 的增大,各條曲線的應力比強度值出現小幅度的減小,用修正后模型能夠反映上述規律.圖26 中的體應變的剪脹量較δ=30°工況有所減小,用修正模型可以反映上述特點.

圖27 與圖28 為對應δ=90°下的應力應變關系對比結果.由圖可見,測試結果表明,各條曲線峰值應力比仍出現了小幅度的減小,但所用修正模型過高地預估了應力比強度值.圖28 中的預測的剪脹體變值也稍大于實測值.

圖23 δ=30° 條件下Leighton Buzzard 砂土應力比與偏應變關系測試結果與預測對比Fig.23 Comparison results with test data and prediction of stress ratio and deviatoric strain relationship for Leighton Buzzard sand under δ=30°

圖24 δ=30° 條件下Leighton Buzzard 砂土體應變與偏應變關系測試結果與預測對比Fig.24 Comparison results with test data and prediction of volume strain and deviatoric strain relationship for Leighton Buzzard sand under δ=30°

9 結論

基于已提出的t 強度準則,考察橫觀各向同性性質,利用由主應力構成的空間滑移面與材料宏觀上的物理沉積面之間的夾角作為度量各向異性程度的狀態量.同理,將其推廣于三維正交各向異性的描述,提出了用于描述三維各向異性的狀態量.并在此基礎上,給出了基于各向異性t 準則的變換應力方程.主要完成了如下幾點工作:

圖25 δ=60° 條件下Leighton Buzzard 砂土應力比與偏應變關系測試結果與預測對比Fig.25 Comparison results with test data and prediction of stress ratio and deviatoric strain relationship for Leighton Buzzard sand under δ=60°

圖26 δ=60° 條件下Leighton Buzzard 砂土體應變與偏應變關系測試結果與預測對比Fig.26 Comparison results with test data and prediction of volume strain and deviatoric strain relationship for Leighton Buzzard sand under δ=60°

(1)基于已有的t 準則公式,通過弓入有效滑移面與沉積面之間的夾角作為各向異性程度狀態量,建立了三維各向異性t 準則.

(2) 基于上述所提出的各向異性t 準則,得到了變換應力方程,可方便的將既有的以p-q為變量的二維模型推廣為可考慮各向異性影響的三維應力應變關系模型.

(3)通過真三軸、平面應變條件的強度測試對比,以及真三軸下的應力應變關系預測對比,進一步驗證了所提準則及變換應力法的合理性與適用性.

圖27 δ=90° 條件下Leighton Buzzard 砂土應力比與偏應變關系測試結果與預測對比Fig.27 Comparison results with test data and prediction of stress ratio and deviatoric strain relationship for Leighton Buzzard sand under δ=90°

圖28 δ=90° 條件下Leighton Buzzard 砂土體應變與偏應變關系測試結果與預測對比Fig.28 Comparison results with test data and prediction of volume strain and deviatoric strain relationship for Leighton Buzzard sand under δ=90°