淺談函數思想在數列中的應用

謝麗君

（吉林師范大學，吉林長春 130000）

引 言

數列在高中數學中占據著重要地位，可以看成以正整數集（或者是它的有限子集{1，2…，n}）為定義域的函數an=f(n)，當自變量按照從小到大的順序依次取值時所對應的一系列函數值[1]。在此基礎上，學生可以將數列問題轉化為函數問題，從而利用函數思想在數列中的應用進行解題。

一、函數解析式在數列中的應用

數列是一種函數，數列的通項公式和前n項和公式都可以看成關于n的函數。下面，筆者通過表格給出數列的通項公式和前n項和公式與函數解析式之間的關系（見表1）。

表1 數列與函數解析式之間的關系表

用函數的思想解決題目中給出的數列前n項和公式的問題時，學生還需要注意該數列是否為分段數列，也就是說a1是否滿足該數列的前n項和公式[2]。下面，筆者用一道例題進行簡要說明。

例1：已知數列{an}的前n項和為Sn，且Sn=n2+2n+1，則數列{an}的通項公式為__________。

解析：本題的常規做法是找到Sn與an之間的關系，即an=Sn-Sn-1(n≥2)，再利用Sn求出首項a1，將a1代入前面所求的通項公式中進行驗證即可。該題目給出的前n項和公式是含有常數項的二次函數，常規方法的解題步驟仍與前面相同，但是在最后的驗證環節，學生會發現該題目中的首項并不滿足所求的通項公式，即該數列是分段數列。通過運算得出本題的通項公式為

如果題目給出的前n項和公式是表1中的二次函數形式，那么學生就可以直接根據該數列是等差數列，求出公差d和a1即可。題目中給出的前n項和公式若是含有常數項的二次函數形式，則說明該數列是分段數列。

二、函數圖像在數列中的應用

在解決函數相關問題的過程中，函數圖像往往最能直接體現函數的特征。如根據數列前n項和求出Sn最大時n的值、數列中各項大小的比較等類型題目均可以借助函數圖像的直觀性進行解答[3]。

例2：在等差數列{an}中，已知a1=20。前n項和為Sn，且S10=S15，問當n為何值時，Sn有最大值，并求出它的最大值。

解析：如圖1所示，用函數的觀點來解決該題目可知，當S10=S15時，S25=0。在利用函數思想挖掘出本題目的隱含信息后，問題就變得容易了。由函數圖像可以看出，當n=12和n=13時，本題目有兩個相等的Sn最大值。根據題目中所給的信息a1=20 和S25=0，可以得到，所以a1+a25=2a13=0，即a13=0，最后再根據a13+a1=20，即可求出結果。

圖1 利用函數圖像表示數列前項和

三、函數單調性在數列中的應用

函數的單調性是函數的基本性質之一，因此，對數列單調性的判斷可以借助函數單調性的判斷方法。例如，等差數列{an}，根據其通項公式與一次函數之間的關系可知，當d＞0時，數列是遞增數列；當d＜0 時,數列是遞減數列；當d=0 時,數列是常數列[4]。

例3：已知數列{an} 滿足，則an的最大項為________。

利用函數的單調性可以解決與數列有關的最值、不等式、比較各項大小等數學問題[5]。

四、函數周期性在數列中的應用

函數的周期性是指若存在一個非零常數T，對于定義域內的任意x，使得f(x)=f(x+T)恒成立，則f(x)為周期函數。而數列作為一種特殊的函數，其周期性是指對于任意的正整數n，若存在常數T(T∈N+)，使得an+T=an，則數列an具有周期性。

例4：數列{an}的通項，其前n項和為Sn，則S30為______。

解析：三角函數具有周期性，當三角函數與數列相結合時，數列就具有了周期性。首先對進行降冪處理，。通過列出前9 項可以發現該數列是以3 為最小正周期的數列，于是將每個周期內的三項相加，構成了一個以為首項，以9 為公差的數列{bn}，該數列的前10 項和T10即為最終答案。

當然，不僅數列與三角函數相結合會體現出周期性，還有一些數列本身就具有周期性。當題目中的數列各項沒有明顯關系時，學生可以根據題目中給出的遞推關系式，先寫出數列的前幾項，再觀察其規律，最后求出該數列的周期[6]。

結 語

函數思想是高中數學思想的重要組成部分。在函數基礎上，研究數列的本質內容，不僅可以幫助學生更好地理解數列的概念，還能讓學生更進一步地掌握和應用函數思想。學生要隨著對數列考查的不斷深入而靈活運用函數思想，使其成為解決數列問題的重要方法，從而提高解題效率。