初中數學變式教學在習題課中的案例分析

鄭玉瑜

（福建省寧德市霞浦縣松城初級中學，福建寧德 355100）

引 言

變式教學是新課程改革的又一教學創新，能夠更好地滿足新課程改革的要求[1]。變式教學是指在不改變教學大綱及教材內容的前提下，通過變式對初中數學知識相關問題的類型、形式等進行思路轉化的過程。變式教學是對傳統教學模式的創新，是擺脫應試教育下機械式做題法束縛的又一次教育改革。學生在變式學習方法下進行習題練習時能夠發現在“多變”的命題下“不變”的屬性，更好地掌握解題方法的規律性，使解題思路更加清晰，從而避免因反復機械做題而形成思維定式，提高對數學知識的歸納、整理和總結能力。

一、現代變式教學方法存在的問題

由于教育體制、發展趨勢等原因，應試教學方法仍然是當前具有主導性質的教學模式，教師因此對變式教學存在一定的誤解，認為將習題中的數字、變量、題目文字稍加更改、變換位置就是變式教學。在這樣的情況下，教師即使在課堂上使用了變式教學也是粗淺的、簡單的。教師對變式教學過于簡單的理解，讓初中數學課堂練習的訓練模式仍離不開機械式的填充。題海模式下的學生逐漸轉變為“答題機”，只為了考試而學習，分數成為學生唯一追求的目標，而教師“教書育人”的初衷也逐漸被執著追求班級分數所取代。

二、變式教學對于初中數學的教學意義

（一）提高學生在思維運用上的延伸性

發散性思維是在研究數學問題的過程中邏輯思維上的延伸和擴展，而變式教學對培養初中學生數學發散性思維具有重要作用。教師在初中數學課堂中運用變式法，能夠幫助學生認識最基本的數學思維屬性，并以此為出發點，延伸數學思維，引導學生在掌握某知識點的本質屬性后，向與其相關聯的知識點進行順利過渡，并形成連貫的知識鏈條和思維脈絡，最終完成學生在思維上的橫向和縱向延伸。

（二）保持學生解題思路的活躍性

一道數學題，雖然答案只有一個，但解題方法可能并不唯一。保持思維的活躍性在于以多種角度思考問題、解決問題，在多重解題思路中，尋找最高效、易懂的一種方式，這與學生掌握知識的扎實程度有一定的關系，不是依靠大量、灌輸式的做題能夠實現的，而是需要學生在習題訓練中自己不斷總結、歸納。變式教學法下的初中數學中，學生對知識的理解與記憶是通過尋找規律來完成的，找到規律就等于找到了解題的核心，從而在解題過程中熟練、靈活地運用概念、定義、法則和公式等。一道蘊含多種解題方法的命題能夠讓學生保持思維活躍性，使學生通過對比找出最佳解題方案。

（三）強化學生解答問題的能力

數學題的題型無論如何變化、變量數值如何更換、文字描述如何設置迷惑陷阱，只要其解題規律不變，學生便能發現題中的“本源”屬性，從而排除干擾條件，最終找出方法完成解題。學生在變式學習法下根據思維脈絡，找到不斷變化的命題中不變的規律，在腦海中形成由本質屬性構成的知識框架，進而“以不變應萬變”，提高自己的解題能力。

三、變式教學在初中數學習題課上的具體應用

（一）在數學概念類習題上的應用

數學概念是以文字表述的形式對數學知識的總結與詮釋，但一些教師和學生不重視數學概念，認為其就是對數學名詞的解釋。然而，數學概念是學習數學知識的基礎，學習某一節內容最先認識和學習的就是數學概念。很多數學問題都是圍繞著數學概念中的某一知識點、某一性質命題的。同時，數學概念也是數學知識的根源所在，無論數學知識如何延伸、擴展，都無法脫離數學概念中的本質屬性，數學概念是實現數學猜想、解決數學問題的核心。因此，在開展習題課時，教師要充分發揮變式教學的作用，根據數學概念中涉及的知識點和數學性質命題，幫助學生完成概念習題的專項訓練。

例1：“分式與分式方程”

分式概念解讀：將整式用A 與B 表示，并且有字母存在于B 中，則稱為分式。從概念中可以得出三個基本性質：第一，分式中的分子（A）和分母（B）都是整式；第二，分母（B）中含有字母；第三，想要分式成立，則分母（B）不能為0。筆者設計的分式練習如下。

例題1：在下列有理式中找出分式（ ）。

例1 變式：下列各式中哪些不是分式（ ）。

例題2：從下列方程中找出y的分式方程（其中c為常數）（ ）。

例2 變式：下列方程式中不為y 的方程式的有（其中c為常數）（ ）。

例2：“位置與坐標”

概括分析平面直角坐標系：由兩個具有公共原點且互相垂直的數軸構成了平面直角坐標系，基于其圖形分析可知，平面上的任意點只對應一個有序實數對；相反，任意一個有序實數對都會與坐標系中唯一一點相對應。筆者設計變式習題練習如下。

例題1：平面直角坐標系中P（-5，2）在第（ ）象限；Q（-5，-5）在第（ ）象限。

例1 變式一：平面直角坐標系中M（3+y，-3）在第（ ）象限。

例1 變式二：如果N（4-x，x）在第二象限，那么x 值的范圍是什么。

例1 變式三：如果M（z+x，y）在第三象限，那么N（z，1）在第幾象限。

軸對稱與坐標變化：x軸對稱的兩點坐標為（x，y）和（x，-y）；y軸對稱的兩點坐標為（x，y）和（-x，y）；原點對稱的兩點坐標為（x，y）和（-x，-y）。筆者設計例題及變式如下。

例題2：點N（6，2）的x軸對稱點坐標為（ ），y軸對稱點坐標為（ ），原點對稱點坐標為（ ）。

例2 變式一：將點M（2，3）在平面直角坐標系中向左平移4 個單位長度后的坐標是（ ），點M（2，3）向下平移5 個單位長度后的坐標是（ ）。

例2 變式二：分別求出點P（2，-8）到x軸和y軸的距離。

（二）在公式上的應用

數學公式法則構成了數學運算的基礎，也是解決數學問題的計算依據，因此，在數學公式上運用變式教學，將本源數學公式通過交換、結合轉化成其他若干個衍生公式。這能夠輔助教師開展數學知識的延伸性教學，實現課程內容的合理規劃與整合，引導學生從多個方向思考問題。

例1：“平行四邊形——多邊形的內角和與外角和”

多邊形的邊數為n，那么n邊形的內角和為：（n-2）×180°，而n邊形的外角和均為360°。

筆者設計變式習題如下。

變式習題一：一個n邊形其中一個內角為150°，求n的值。

變式習題二：m邊形的內角和720°，求m值。

變式習題三：a邊形的內角和是外角和的2 倍，求a值。

變式習題四：x邊形的外角和與內角和相加是630°，求x值。

變式習題五：y邊形的其中一個外角小于60°，求y值。

例2：“實數——二次根式”

變式習題二：a為怎樣的實數能夠讓以下二次根式有意義。

變式習題三：m和n均為實數，已知，計算

（三）在復習習題訓練上的應用

復習即回顧所學內容，旨在加深與鞏固記憶的知識內容，復習在教學全流程中發揮著總結與歸納的作用。傳統教學模式下，教師在開展初中數學復習性習題訓練時，只要求學生重復、機械地解答問題。這與素質教育的初衷相違背。教師應充分利用變式教學的特點，將相關聯的、有區別的、易混淆的、難記憶的知識要點、公式法則、概念定義等重新拆分、整理、歸納、整合，進而形成清晰的復習脈絡，并將復習脈絡與復習方法傳授給學生，引導學生按照復習脈絡進行有條理的復習，使學生在數學知識的掌握與運用上形成記憶鏈條，幫助學生提高記憶速度、強化理解水平及牢固掌握知識。

例1：“三角形的證明——等腰三角形”

在復習等腰三角形的知識時，教師可將等腰三角形、等邊三角形、中垂線等知識進行串聯復習，按照定義、性質、判定方法將知識點加以聯系與區分，具體習題變式如下。

已知等腰三角形的其中兩條邊長分別為6 厘米和10 厘米，求等腰三角形的周長。

變式習題一：某等腰三角形中一腰上的中線將三角形分為兩部分，其周長分別是13 和16，請計算等腰三角形腰的長度。

變式習題二：某三角形的三條邊長為x，y，z，并已知等式x+y=z+y，問這是什么三角形。

結 語

變式教學法通過不斷改革與完善，已在初中數學教學領域中廣泛應用，在幫助學生提高思維能力上具有積極的促進作用。實踐證明，變式教學與應試教學形成鮮明對比，其靈活多變的解題思路和開闊的思維模式是機械式做題模式無法比擬的。教師應通過分析現代變式教學方法存在的突出問題，研究變式教學對初中數學的意義所在，探索變式教學在初中數學習題課上的有效應用策略，以此構建高質與高效的初中數學課堂。