高中數學解題能力培養須以學生認知為基礎

劉廷民

（福建省連江尚德中學，福建福州 350510）

引 言

學生解答數學問題后，很少主動回顧問題，這不利于學生深刻認知數學問題中的知識點，會降低學生的解題效率。因此，在高中數學解題過程中，教師有必要夯實學生的知識認知基礎，并以學生認知情況為基礎開展高中數學解題教學，從而幫助學生有效解答數學問題。筆者認為，培養學生的數學解題能力須以學生認知為基礎，文本將對此展開分析。

一、以認知為基礎培養學生高中數學解題能力的重要性

（一）高中數學核心素養的教學要求

在高中數學核心素養背景下，以生為本的教學理念應運而生，在這一新理念下，教師應以學生認知為基礎，針對學生的學習能力，利用有效的教學方式，引導學生解答數學問題，促使學生在解答數學問題的過程中積累有效的經驗，從而幫助學生構建良好的數學知識體系[1]。因此，以學生認知為基礎的高中數學解題能力培養符合新課程改革的教學要求。

（二）高中數學學科的特征

高中數學與初中數學相比，知識點更多、更抽象，對于學生的邏輯思維能力要求更高。學生如果缺乏良好的數學認知基礎，將無法正確解答數學問題。因此，根據高中數學學科的特征，教師要以學生的認知為基礎，讓學生真正認知數學知識，幫助學生明確解答某一題目需要運用到哪些知識，從而使學生更加準確、快速地解答數學問題。

二、以認知為基礎培養學生高中數學解題能力的方式

（一）引導學生結合自身認知，從轉化角度分析與解答數學問題

在高中數學學習中，許多學生分析與解答高中平面向量問題時，往往會遇到困難，如審題不正確、計算流程復雜、找不到解題思路等。學生如果在解答平面向量問題時，沒有具備良好的分析與解題能力，對平面向量基礎知識認知不清，將會耗費大量時間，導致數學解題效率低下。因此，在解答平面向量問題時，教師不能只是簡單地講解答案，而要重點培養學生對平面向量知識的認知能力，引導學生構建有效的平面向量知識體系，這樣才能使學生準確找到平面向量問題的解題方向。其中，將轉化思想融入數學平面向量解題教學中，能夠讓學生基于所學的平面向量知識，轉化平面向量問題，從而找到正確的解題方向。

以高中數學“平面向量”的有關問題為例，“平面向量”是高中生應掌握的重要知識點，也是高中數學問題中的常見知識點。因此，為了引導學生正確、快速地解答平面向量問題，教師可以在教學中滲透轉化思想，引導學生基于已知的平面向量基礎知識，對平面向量問題進行轉化。

已知平面上的直線L的方向向量，點（0，0）和A（1，-2）在L上的射影分別為O'和A'，若則λ為？

分析：對于這道平面向量數學題目，教師可以先讓學生回顧已經學習過的平面向量概念、基本定理及坐標等知識，一方面，幫助學生鞏固所學知識；另一方面，提高學生對平面向量的認知能力，從而以學生認知為基礎來引導學生解答問題。在學生回顧完平面向量知識后，教師可以引導學生從轉化思維的角度，利用一般轉特殊的解題方法，將題目的一般情況轉為特殊情況，將其轉化為易于理解的問題，再進行問題的解答[2]。

解析：將題目一般情況轉為特殊情況，如直線L的斜率一定，但直線是變化的，而λ可以看作定值，那么直線L就對λ的值無影響，則學生可以取L為來求出數值。

（二）基于學生的數學認知能力，引導學生運用數形結合思維解答數學問題

對于高中生而言，立體幾何一直是困擾他們的難題。多數學生都感到幾何問題非常難解答，所以很多學生對立體幾何的學習興趣不高，常常會放棄一些復雜幾何問題的作答機會。為了鼓勵學生勇于解答幾何問題，教師既要以學生認知能力為基礎，又要引導學生通過數形結合思想來分析和解答問題，從而在大腦中構建知識框架。此外，教師也要發揮教學指導作用，多給學生一些時間，讓學生挖掘立體幾何題目中的重要信息，從而找到幾何題目與數形結合之間的關系，進而快速找到幾何問題的解題突破口[3]。

以高中數學的“立體幾何”為例，在引導學生解答“立體幾何”問題時，教師可以利用數形結合思維，基于學生所學的幾何知識，培養學生分析與解題能力，使學生可以有效理解和解答“立體幾何”問題。在下面這道例題中，教師可以指導學生運用數形結合思想來分析和解答問題。

分析：在解答這類幾何題目時，教師應引導學生回顧接觸過的幾何圖形，如橢圓、三角形等，幫助學生回憶以往所學的高中數學知識，使學生基于已學過的數學基礎知識，運用數形結合思想來解答問題。首先，根據這道幾何例題，教師可以提醒學生從題目中的已知條件找到數形結合的點，如根據問題中所給的信息，學生可以先簡單畫出幾何圖像，如圖1所示。然后，學生可以根據幾何圖像，對點P是否為直角頂點進行判斷。學生可以利用橢圓的性質、直角三角形的性質、定理等知識進行分析，從而求出點P的坐標，進而得出點P到x軸的距離。

圖1

解析：∵a=4，b=3，∴，那么以O為圓心，并以OF1為半徑畫圓，而此圓與橢圓無交點，則P點不可能是直角三角形的頂點，那么△PF1F2中∠PF1F2或者∠PF2F1是直角。所以，將代入到橢圓方程，得到，進而求出點P到x軸的距離為。

（三）從學生的認知角度，運用分類分步解題思維解答數學問題

很多高中數學題目較為復雜，抽象性非常強，學生如果不懂得變通和創新解題思路，將無法解答數學題目，也無法提高自身解題能力。雖然數形結合是一種有效的解題方法，但對于一些復雜的數學題目，學生還是需要結合自身認知情況，利用多元化的解題思路，才能解答數學問題。其中，學生可以利用分類分步計算的方式來解答一些常見的數學問題，即在原有數學知識的基礎上，對數學問題進行分類、分步計算，確保數學解題過程有序、有效。

以高中數學“概率”問題為例，在解答相關問題時，學生如果無法從轉化、數形結合思想中找到解題突破口，可以轉變解題思路，從分類分步計算的角度去分析概率問題，從而有序地解答數學概率問題。如下面這道例題。

某高校從E、F 和G 三家公司購買同一設備的比例分別為20%、40%和40%，E、F 和G 三家公司所生產設備的合格率分別為98%、98%和99%，那么現隨機購買到一臺次品設備的概率是多少？

分析：這道概率問題看似簡單，但學生如果只關注題目中給出的條件，沒有意識到其中數據的關系，便難以找到解題的方向。其中，學生可以運用分類分步思維，將滿足條件的各種情況概率相加，并將題目中滿足條件的每個步驟概率進行乘積運算，從而解答問題[4]。

解析：首先，學生應按照分步思維，將E、F、G 三家公司購買到的次品概率進行分步計算，如20%×2%、40%×2%、40%×1%。然后，學生按照分類思維，將滿足條件的各種情況的概率相加，如20%×2%+40%×2%+40%×1%，最后得出這一問題的答案，即0.016。由此可見，這道概率問題看似簡單，但學生如果缺乏分類分步解題思維，對概率問題的認知不夠深入，便很難快速解答數學問題，也容易忽略一些關鍵數據。

結 語

綜上所述，在高中數學教學中，學生會面對多種類型的數學題目，這對于學生的基礎認知能力、分析與解題能力都提出了較高要求。所以，教師有必要結合相關數學解題思維，基于學生的認知基礎，引導學生展開數學問題的解題學習，從而不斷提高學生的數學解題能力。