案例教學法在《離散數(shù)學》命題邏輯教學中的應用

李艷艷 高美平

摘 要：研究解決《離散數(shù)學》命題邏輯教學中發(fā)現(xiàn)的問題——課本例題雖然經(jīng)典，但是趣味性不足、與實際生活聯(lián)系不緊密，學生不能熟練應用知識解決問題。本文在查閱大量資料的基礎上，收集整理適合有趣的案例，并將它們應用于課堂教學，從而達到增加學生學習興趣和應用數(shù)學知識解決實際問題的目的。

關(guān)鍵詞：案例教學法;離散數(shù)學;命題邏輯

中圖分類號：O151.2 ?文獻標識碼：A

離散數(shù)學是數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)的一門專業(yè)必修課，涉及的主要內(nèi)容之一就是用數(shù)學方法研究邏輯問題的命題邏輯，教學中占具三分之一的課時。從使用的教材發(fā)現(xiàn)，課本上所舉的例子雖然很經(jīng)典，但是缺乏與時俱進的趣味性，而且和實際生活的聯(lián)系也不密切，這就導致了學生往往已將課本內(nèi)容學得很熟悉，可卻不會應用它們解決實際生活中的邏輯問題，對于知識的學習還停留在紙上談兵階段，違背了學習邏輯內(nèi)容的本質(zhì)，沒有達到學以致用的效果。關(guān)于命題邏輯部分的教學，王國卿、吳群妹在文獻[1]、文獻[2]做了一定研究，本文從案例教學法的角度繼續(xù)研究該問題。為了解決命題邏輯部分教學中不能理論聯(lián)系實際的情況，本文在查閱大量資料的基礎上，收集整理適合有趣的案例，并將它們應用于課堂教學，從而達到增加學生學習興趣和應用數(shù)學知識解決實際問題的目的。命題邏輯部分的問題主要分為三部分：根據(jù)已知條件推斷結(jié)論、增加條件推出結(jié)論和應用推理理論推出結(jié)論三種類型。解決的手段主要是等值演算和推理理論。下面對這三部分內(nèi)容分別給出來源于實際生活的生動有趣的案例，在案例的解決過程中，達到學以致用、舉一反三的目的。

1 根據(jù)已知條件推斷結(jié)論

例1 紅紅、丹丹、陽陽、珍珍和慧慧是同一家公司的同事，因工作的需要，她們不能同時出席公司舉辦的新產(chǎn)品發(fā)布會。她們的出席情況是：（1）只有紅紅出席，丹丹、陽陽和珍珍才都出席;（2）紅紅不能出席;（3）如果丹丹不出席，陽陽也不出席;（4）如果陽陽不出席，慧慧也不出席;（5）已經(jīng)決定慧慧出席發(fā)布會。

根據(jù)上述情況，可以推出（ ）。

A.丹丹出席發(fā)布會，陽陽和珍珍不出席發(fā)布會

B.珍珍出席發(fā)布會，丹丹和陽陽不出席發(fā)布會

C.陽陽和珍珍出席發(fā)布會，丹丹不出席發(fā)布會

D.丹丹和陽陽出席發(fā)布會，珍珍不出席發(fā)布會

解：命題符號化：設 p：紅紅出席，q：丹丹出席，r：陽陽出席，s：珍珍出席，t：慧慧出席，則出席情況為：

（（q∧r∧s）→p）∧p∧（q→r）∧（r→t）

對上式等值演算，得：

（（q∧r∧s）→p）∧p∧（q→r）∧（r→t）

p∧q∧r∧s∧t

則得出紅紅、珍珍、慧慧不出席，丹丹、陽陽出席的結(jié)論，即答案為D。

例2 如果張三作案，那么李四一定是主犯;如果張三沒作案，那么王五參與作案。如果李四不是主犯，那么王五沒有參與作案。

由此可以推出以下哪項？（ ）

1.張三沒作案

2.李四一定是主犯

3.李四不一定是主犯

4.王五參與作案

5.張三作案

解：命題符號化：設 p：張三作案，q：李四為主犯，r：王五參與作案，則已知事實為（p→q）∧（p→r）∧（q→r）。

（q→p）∧（p→r）∧（q→r）（q→r）∧（q→r）1

所以q的真值為0，那么q的真值就為1。從而推斷李四一定為主犯，答案為B。

例3 小軒和小萌的媽媽買了一個精美的小蛋糕放在冰箱，早晨起床發(fā)現(xiàn)蛋糕不見了，經(jīng)詢問，兩個小朋友都說自己沒有吃。于是媽媽就充當警察，尋找偷吃蛋糕的小饞貓。已知事實如下：（1）小軒或小萌吃了蛋糕;（2）若小軒吃了蛋糕，則偷吃時間不能發(fā)生在午夜前;（3）若小萌說的正確，則午夜時屋里燈光未滅;（4）若小萌說的不正確，則偷吃時間發(fā)生在午夜之前;（5）午夜時屋里燈光滅了。

則，偷吃蛋糕的是（ ）。

解：命題符號化：設p：小軒偷吃了蛋糕;q：小萌偷吃了蛋糕;r：偷吃時間發(fā)生在午夜前;s：小萌說的正確;t：午夜時屋里燈光未滅。

根據(jù)媽媽已查明的事實，p∨q，p→r，s→t，s→r，t的值都為真，由此推出p或q。

下面尋找上述各式的合取式的成真賦值。

（p∨q）∧（p→r）∧（s→t）∧（s→r）∧（t）

（p∨q）∧（p∨r）∧（s∨t）∧（s∨r）∧（t）

（p∨q）∧（p∧s∧r∧t）

（p∧s∧r∧t）

它的成真賦值是p=0，q=1，s=0，r=1，t=0，由此可知，小萌偷吃了蛋糕。

2 增加條件推出結(jié)論

例4 如果甲和乙考試都沒及格的話，那么丙就一定及格了。上述前提再增加以下哪項，就可以推出“甲考試及格了”的結(jié)論。

1.丙及格了

2.乙和丙都沒有及格

3.丙沒有及格

4.乙和丙都及格了

解：命題符號化：設p：甲考試及格，q：乙考試及格，r：丙考試及格，則命題為（p∧q）→r。

由等值演算知（p∧q）→r（r∧q）→p，所以再增加條件：當乙和丙考試都沒有及格時，就可以推出甲考試及格了，因此選B。

例5 某高校外語教研室新招進五位外語老師，每位老師只教授一門外語，并且滿足以下條件：（1）如果小錢教德語，那么小孫不教俄語;（2）或者小李教德語，或者小錢教德語;（3）如果小孫不教俄語，那么小趙不教法語;（4）或者小趙教法語，或者小周不教英語。

以下哪項如果為真，可以得出“小李教德語”的結(jié)論？

1.小孫不教俄語

2.小錢教德語

3.小周教英語

4.小趙不教法語

解：命題符號化：設 p：小錢教德語，q：小孫教俄語，r：小李教德語，s：小孫教德語，t：小趙教法語，t：小周教英語，則題目滿足條件為：

（p→q）∧（p∨r）∧（q→t）∧（t∨n）

等值演算得：

（p→q）∧（p∨r）∧（q→t）∧（t∨n）（t∨n）→r

故要得到小李教德語，只需增加小趙教法語或小周教英語就可以。則答案選C。

3 用推理理論推出結(jié)論

例6 已知：（1）如果甲和乙是肇事者，丙就不是肇事者;（2）如果丁是肇事者，那么乙就是肇事者;（3）甲和丙都是肇事者。

由此推出：（ ）

A.乙和丁都是肇事者

B.乙和丁都不是肇事者

C.乙是肇事者，丁不是肇事者

D.乙不是肇事者，丁是肇事者

解：命題符號化：設 p：甲是肇事者，q：乙是肇事者，r：丙是肇事者，s：丁是肇事者。則已知前提為：（p∧q）→r，s→q，p∧r。

使用推理理論求解結(jié)論：

①（p∧q）→r 前提引入 ⑤ s→q 前提引入

②（p∧r）→q ①置換 ⑥s ④⑤拒取式

③p∧r 前提引入 ⑦q→s ⑤置換

④q ②③假言推理 ⑧q∧s ④⑥假言推理

那么可知，乙和丁都不是肇事者，故B選項正確。

例7 如果阿根廷參加聯(lián)盟，則巴西和智利將抵制聯(lián)盟。如果巴西和智利有一國抵制聯(lián)盟，那么聯(lián)盟就會名存實亡。而聯(lián)盟沒有名存實亡。

從這段文字可以推出：

A.巴西沒有參加聯(lián)盟;B.巴西參加聯(lián)盟;C.智利和巴西至少有一國沒有參加聯(lián)盟;D.阿根廷沒有參加聯(lián)盟

解：命題符號化：

設 p：阿根廷參加聯(lián)盟;q：巴西抵制聯(lián)盟;r：智利抵制聯(lián)盟;s：聯(lián)盟名存實亡

則已知前提為：p→（q∧r），（p∨q）→s，s

使用推理理論求解結(jié)論：

①（p∨q）→s 前提引入 ?②s 前提引入

③p∧q ①②拒取式 ④q ③化簡

⑤p→（q∧r） 前提引入 ⑥（p→q）∧（p→r） ⑤置換

⑦p→q ⑥化簡 ⑧p ④⑦拒取式

則得到結(jié)論阿根廷沒有參加聯(lián)盟，選D。

例8 如果今天星期三，則要進行線性代數(shù)或概率論期中測試。如果線代老師有會，則不考線代，線代老師有會。所以進行概率論期中測試。

解：命題符號化：

設p：今天星期三;q：進行線性代數(shù)期中測試;r：進行概率論期中測試;s：線代老師有會。

則已知前提為：p→（q∨r），s→q，p，s

結(jié)論：r

證明：

①p→（q∨r） 前提引入 ?②p 前提引入

③ q∨r ①②假言推理 ④s→q 前提引入

⑤s 前提引入 ⑥q ④⑤假言推理

⑦ r ③⑥析取三段論

由以上證明知，進行概率論期中測試。

例9 如果小明是計算機類專業(yè)學生，他必學好離散數(shù)學。如果他不是計算機類專業(yè)學生，他必須是數(shù)學專業(yè)學生。他沒學好離散數(shù)學。所以他是數(shù)學專業(yè)學生。

解：命題符號化：p：小明是計算機類專業(yè)學生;q：他學好離散數(shù)學;r：他是數(shù)學專業(yè)學生。

前提：p→q，r→p，q

①p→q 前提引入; ?②q 前提引入

③p ①②拒取式 ④r→p 前提引入

⑤r③④拒取

由上可知，他是數(shù)學專業(yè)學生。

4 結(jié)語

本文通過選用九個典型實際案例，讓學生在解決案例的過程中達到熟悉、強化知識的目的，這樣做不僅提高了學生學習的興趣，也讓學生進一步掌握數(shù)學來源于生活又服務于生活的本質(zhì)。該教學法給原本枯燥乏味的數(shù)學課堂注入了活力，使學生覺得數(shù)學離自己的生活是那樣近，在提高學生數(shù)學學習主動性的同時，也學會了用數(shù)學的眼光看待并解決問題。

參考文獻：

[1]王國卿.“離散數(shù)學”命題邏輯的教與學研究[J].無線互聯(lián)科技，2019，8：151-152.

[2]吳群妹.淺談怎樣學習離散數(shù)學中的命題邏輯[J].科技信息，2009，9：169-170.

基金項目：文山學院《高等代數(shù)》精品課程建設項目

作者簡介：李艷艷（1982—），女，甘肅慶陽人，碩士，副教授，研究方向：矩陣理論及其應用、數(shù)值分析，大學數(shù)學教學。