定積分在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

馬紅晶

【摘要】定積分是大學(xué)數(shù)學(xué)的重要組成部分，在許多問題的解決方法中是必不可少的.在幾何學(xué)方面，定積分也有著廣泛的應(yīng)用.也正是因?yàn)檫@些應(yīng)用，才推動(dòng)了積分學(xué)的不斷發(fā)展和完善.本文將在高等數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ)上，介紹用定積分表示具體問題的方法——微元法.另外，定積分在初等數(shù)學(xué)中也有著良好的運(yùn)用.本文研究了如何用定積分推導(dǎo)一些初等數(shù)學(xué)中的面積與體積公式的問題.

【關(guān)鍵詞】定積分;面積;體積;幾何應(yīng)用

一、問題的提出

在小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，圓的周長(zhǎng)和面積公式就已經(jīng)深深扎根于學(xué)生的心中.一直到初中乃至高中，學(xué)生直接使用這些公式來(lái)解題得到了很大的便利.那么圓的面積公式和周長(zhǎng)公式到底是如何推導(dǎo)出來(lái)的呢？下面我們來(lái)用定積分的方法解決這個(gè)問題.

二、 微元法

我們來(lái)回顧一下如何將曲邊梯形的面積A表示為定積分，步驟如下.

經(jīng)過這四個(gè)步驟的層層推導(dǎo)，我們就可以將所求“曲邊梯形面積A”表述成定積分的形式，由此即可以得到如何用定積分來(lái)表示所要求的量U，有以下三個(gè)步驟：

我們把這種方法稱作微元法，此方法被廣泛應(yīng)用于許多問題中，給我們解決問題帶來(lái)了很多便利.

三、旋轉(zhuǎn)曲面的面積

設(shè)平面光滑曲線C的方程為

綜上所述，圓的面積公式和周長(zhǎng)公式都可以用定積分進(jìn)行推導(dǎo)，這擴(kuò)展了我們的解題思路.

2.球的表面積公式和體積公式.

用定積分可以計(jì)算出旋轉(zhuǎn)曲面的面積和旋轉(zhuǎn)體的體積，這恰好可以在推導(dǎo)球的面積公式和體積公式中得到良好的運(yùn)用.下面我們就來(lái)研究這個(gè)問題.

五、小結(jié)

理論與實(shí)際總是密切聯(lián)系、互相促進(jìn)發(fā)展的，沒有無(wú)理論的實(shí)際，也沒有無(wú)實(shí)際的理論.高等數(shù)學(xué)知識(shí)不僅注重對(duì)其各項(xiàng)知識(shí)點(diǎn)的了解與掌握，更注重用這些理論知識(shí)來(lái)解決實(shí)際生活中遇到的種種具體問題.定積分是一種實(shí)用性非常強(qiáng)的數(shù)學(xué)方法，它的重點(diǎn)是將具體問題表示成定積分，這就需要靈活掌握定積分的意義與分析方法，這樣便可以將一些具體問題中的幾何問題變成有關(guān)定積分的計(jì)算問題，在這個(gè)過程中的轉(zhuǎn)化為我們解題提供了巨大的便利，同時(shí)也省去了很多復(fù)雜的過程，因此定積分在解決實(shí)際問題中得到很廣泛的應(yīng)用.

本文圍繞著定積分在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，給出了用定積分來(lái)解決在初等數(shù)學(xué)中所解決不了的問題，也提供了一種新的思維方式與解題方法，這既使得對(duì)高等數(shù)學(xué)知識(shí)與思想的掌握與理解更深一籌，也在初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)中架起了一道銜接的橋梁，充分體現(xiàn)了高等數(shù)學(xué)的優(yōu)越性.

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