初中數(shù)學(xué)一元一次方程中滲透模型思想的教學(xué)思考

鄧珊珊 桑海風(fēng)

【摘要】本文研究了數(shù)學(xué)模型思想對(duì)初中一元一次方程的啟示，探討了數(shù)學(xué)模型思想與學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之間的關(guān)系，并結(jié)合實(shí)例分析在初中課堂上如何基于數(shù)學(xué)模型思想對(duì)一元一次方程進(jìn)行學(xué)習(xí).

【關(guān)鍵詞】模型思想;一元一次方程;初中課堂

隨著數(shù)學(xué)教育的不斷改革，數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界之間的聯(lián)系被越來越多的人所關(guān)注.數(shù)學(xué)教育也越來越重視讓學(xué)生用數(shù)學(xué)思想方法觀察世界，指引學(xué)生經(jīng)歷和體會(huì)數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的完整過程[1].在初中方程的課堂上滲透數(shù)學(xué)模型思想不僅可以很好地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和發(fā)散思維，還可以幫助學(xué)生形成一定的問題意識(shí)，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)，深入思考.

一、一元一次方程教材內(nèi)容分析

方程在初中教材中是非常重要的，甚至在數(shù)學(xué)乃至其他學(xué)科的學(xué)習(xí)中，方程都起著至關(guān)重要的作用.方程知識(shí)既是初中數(shù)學(xué)的核心部分，也是學(xué)生接下來學(xué)習(xí)函數(shù)和幾何問題的基礎(chǔ).對(duì)方程知識(shí)的學(xué)習(xí)可以提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力.通過對(duì)方程知識(shí)的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以掌握解決問題的思想和方法，對(duì)方程的求解可以進(jìn)一步加強(qiáng)“方程思維”“化歸思維”“消元”“降次”“置換”等方法.在解決方程問題的過程中，可以進(jìn)一步理解模型思維，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.

一元一次方程是學(xué)生在初一階段最先學(xué)習(xí)的知識(shí)，以人教版教材為例，一元一次方程作為七年級(jí)上冊(cè)第三章的內(nèi)容，包含從算式到方程、解一元一次方程（一）、解一元一次方程（二）、實(shí)際問題與一元一次方程.本章節(jié)內(nèi)容是初中學(xué)生第一次接觸方程，是初中方程中最簡(jiǎn)單、最基礎(chǔ)的，同時(shí)也是學(xué)生在初中階段繼續(xù)學(xué)習(xí)其他方程的基礎(chǔ).如此可見，一元一次方程在整個(gè)初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中有著十分重要的地位.

二、學(xué)生情況分析

為了研究在一元一次方程中滲透模型思想的教學(xué)過程，應(yīng)對(duì)學(xué)生的情況進(jìn)行分析，了解學(xué)生的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和思維水平，并對(duì)學(xué)生可能遇到的問題做出分析，然后在此基礎(chǔ)上開展對(duì)一元一次方程的教學(xué)，選擇適合學(xué)生的教學(xué)模式，高效地完成教學(xué)活動(dòng).

（1） 學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)

以人教版教材為例，學(xué)生第一次接觸方程是在小學(xué)五年級(jí)第五單元的“簡(jiǎn)易方程”，之后在初中七年級(jí)上第五章“一元一次方程”再次接觸到了方程，也就是說學(xué)生在接觸“一元一次方程”之前對(duì)方程已經(jīng)有了一定的了解.此外，在課程安排上，也將“整式的加減”放到了“一元一次方程”之前，給學(xué)生灌輸了代數(shù)式表示的意義和代數(shù)式之間的運(yùn)算.

（2）學(xué)生的思維水平

通過小學(xué)階段的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)具備了一定的數(shù)學(xué)能力.本學(xué)期有理數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)培養(yǎng)了學(xué)生的計(jì)算能力，在整式的加減部分，學(xué)生掌握了用字母表示數(shù)，具備了分析問題、抽象問題的能力.這些都使學(xué)生的認(rèn)知水平和數(shù)學(xué)思維有了一定程度的提高，為接下來將要學(xué)習(xí)的一元一次方程奠定了基礎(chǔ).

（3）學(xué)生學(xué)習(xí)過程中可能遇到的問題

盡管學(xué)生在小學(xué)五年級(jí)已經(jīng)對(duì)“簡(jiǎn)易方程”進(jìn)行了學(xué)習(xí)，對(duì)方程的知識(shí)具備了一定的了解，但相對(duì)于小學(xué)的簡(jiǎn)易方程，一元一次方程與實(shí)際生活中的問題聯(lián)系得更加密切，對(duì)學(xué)生的問題轉(zhuǎn)換能力、結(jié)構(gòu)化能力、解題執(zhí)行能力等提出了更高的要求.學(xué)生在學(xué)習(xí)這部分時(shí)還是會(huì)遇到較大的困難，其中比較主要的困難就是學(xué)生從實(shí)際問題中抽象出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，并用數(shù)學(xué)的思想方法來解決問題.

三、基于建構(gòu)主義理論的模型思想

建構(gòu)主義理論作為認(rèn)知心理學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展，是現(xiàn)代建構(gòu)主義的先驅(qū)皮亞杰早在五十年代就已經(jīng)提出來的，在他看來，發(fā)展并不是人一生下來就有的，而是在周圍環(huán)境相互作用下，根據(jù)自己已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)一步步建構(gòu)的[2].認(rèn)識(shí)不是主體對(duì)客體的一種簡(jiǎn)單被動(dòng)反映，而是主體在自己原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)上的一種積極主動(dòng)建構(gòu)的過程.這與數(shù)學(xué)建模思想中的：通過已有知識(shí)對(duì)未知問題的一種探索和研究的觀點(diǎn)相一致，因此也為數(shù)學(xué)建模思想在心理學(xué)水平上的應(yīng)用提供了理論支持.

在數(shù)學(xué)建模思想下，要求學(xué)生能夠根據(jù)自己已經(jīng)掌握的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)來進(jìn)一步發(fā)展自己的認(rèn)知，建構(gòu)自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)，在這一觀點(diǎn)下，就要求教師在進(jìn)行教學(xué)過程中不能一味地、單純地將知識(shí)復(fù)制給學(xué)生，而是通過創(chuàng)設(shè)一定的情境，使學(xué)生能夠根據(jù)自己的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、探究和解決問題，從而使學(xué)生在真正意義上掌握與應(yīng)用知識(shí)[3].

四、一元一次方程中滲透模型思想的教學(xué)策略

在初中進(jìn)行數(shù)學(xué)建模教學(xué)時(shí)，教師可以根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況開展教學(xué)活動(dòng).例如，教師可以在日常教學(xué)活動(dòng)中通過創(chuàng)設(shè)一定的問題情境，使學(xué)生運(yùn)用自己已經(jīng)掌握的知識(shí)對(duì)問題進(jìn)行解決，在解決問題的過程中加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，教師也可以根據(jù)某一問題或課題組織學(xué)生進(jìn)行小組合作研究，在學(xué)生小組學(xué)習(xí)的過程中培養(yǎng)學(xué)生分析問題、合作探究的能力.

（一）選擇合適的建模問題

在我們的實(shí)際生活中可以被視為數(shù)學(xué)模型的問題并不少，但是這些問題并不都可以被拿到數(shù)學(xué)課堂中來.教師應(yīng)精心選擇適合的建模問題，保證所選擇的建模問題既符合學(xué)生的年齡特點(diǎn)又滿足教學(xué)內(nèi)容的需要.選擇合適的建模問題是數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的關(guān)鍵[4].因此，教師可以結(jié)合自己班級(jí)的具體情況，充分考慮學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和生活經(jīng)驗(yàn)，選擇學(xué)生熟悉的問題情境，使學(xué)生對(duì)建立數(shù)學(xué)模型感興趣，認(rèn)為利用數(shù)學(xué)建模解決問題并不難，使學(xué)生愛數(shù)學(xué)、愛學(xué)習(xí).

（二）體驗(yàn)完整的建模過程

滲透模型思想的數(shù)學(xué)教學(xué)，要求教師在教學(xué)過程中不能一味地采用傳統(tǒng)的灌輸式教學(xué)模式，應(yīng)該重視學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，讓學(xué)生經(jīng)歷和體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的完整過程.知識(shí)的獲得應(yīng)是學(xué)生親自經(jīng)歷并發(fā)現(xiàn)的，從而達(dá)到對(duì)知識(shí)的真正掌握.在實(shí)際的教學(xué)過程中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、鼓勵(lì)學(xué)生大膽假設(shè)、合作探究，給學(xué)生足夠的時(shí)間和空間去思考，尊重學(xué)生課堂的主體性.

（三）強(qiáng)化學(xué)生的模型意識(shí)

在完成一個(gè)建模活動(dòng)后，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行總結(jié)，將數(shù)學(xué)模型內(nèi)化，成為自己解決現(xiàn)實(shí)生活問題的一種方法，使學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)與生活中，能夠具有一定的模型思想意識(shí)，體驗(yàn)到數(shù)學(xué)與其他學(xué)科及實(shí)際生活之間的密切聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，進(jìn)而增強(qiáng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用與實(shí)踐能力.

在滲透模型思想的初中方程的教學(xué)過程中，應(yīng)以學(xué)生為主體，選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)建模問題，時(shí)刻突出以學(xué)生為主體的教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生親自經(jīng)歷和體驗(yàn)完整的數(shù)學(xué)建模過程.在整個(gè)教學(xué)過程中，重視學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的獲得和發(fā)展，突出學(xué)生創(chuàng)造性思維的培養(yǎng).

五、滲透模型思想的一元一次方程的教學(xué)過程設(shè)計(jì)

以“應(yīng)用問題與一元一次方程”一課為例，通過“提出問題——作出假設(shè)——建立模型——求解模型——檢驗(yàn)?zāi)Ｐ汀罨Ｐ汀獞?yīng)用模型 ”的過程，對(duì)學(xué)生進(jìn)行滲透模型思想的一元一次方程教學(xué).

“應(yīng)用問題與一元一次方程”的教學(xué)實(shí)施過程如下：

（一）設(shè)計(jì)問題，導(dǎo)入新課

國(guó)際動(dòng)物日快要到了，為了宣傳、鼓勵(lì)大家愛護(hù)動(dòng)物，老師組織同學(xué)們周末到社區(qū)為路人發(fā)放800張宣傳單和若干環(huán)保袋，每位路人發(fā)兩張宣傳單和一個(gè)環(huán)保袋.

師：同學(xué)們，你們能幫老師想一下，應(yīng)該如何發(fā)放嗎？【發(fā)現(xiàn)問題】

生：把兩張宣傳單放到一個(gè)環(huán)保袋里，一起發(fā)放給路人.

師：同學(xué)們都非常棒啊，幫老師找到了解決問題的辦法，那誰能知道宣傳單和環(huán)保袋之間有什么關(guān)系呢？ 為保證宣傳單恰好發(fā)完，應(yīng)有環(huán)保袋多少個(gè)？

（二）提出假設(shè)，滲透模型

生：宣傳單和環(huán)保袋數(shù)量之間滿足一定的比例關(guān)系.【提出假設(shè)】

生：宣傳單和環(huán)保袋數(shù)量滿足2∶1.

（三）分組討論，建立模型

師：同學(xué)們可以小組討論，找一找其中的等量關(guān)系.

生：宣傳單的數(shù)量=環(huán)保袋×2.【建立模型】

（四）列出方程，求解模型

師：同學(xué)們，為保證宣傳單恰好發(fā)完，應(yīng)有環(huán)保袋多少個(gè)？

生：設(shè)環(huán)保袋的數(shù)量為x個(gè)，則可列方程800=2x 解得x=400.【求解模型】

（五）學(xué)生討論，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?/p>

師：同學(xué)們都非常棒啊，那么我們來檢驗(yàn)一下，這名同學(xué)的答案對(duì)不對(duì)呢？

生：對(duì)，宣傳單800張，環(huán)保袋400個(gè); 數(shù)量滿足2∶1的關(guān)系. 【檢驗(yàn)?zāi)Ｐ汀?/p>

（六）加強(qiáng)難度，深化模型思想

師：同學(xué)們回答得都非常棒，但是經(jīng)過老師的統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)每個(gè)家庭分發(fā)兩張宣傳單和三個(gè)環(huán)保袋時(shí)，最受路人歡迎，

那么同學(xué)們現(xiàn)有800張宣傳單，為保證宣傳單恰好發(fā)完，環(huán)保袋應(yīng)至少有多少個(gè)？【深化模型】

生：宣傳單∶環(huán)保袋=2∶3.

生：設(shè)環(huán)保袋的數(shù)量為a，則可列 3×800=2×a，解得a=1200.

生：經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.

（七）總結(jié)反思，應(yīng)用模型

師：通過上面兩個(gè)問題，請(qǐng)同學(xué)們小組討論并思考解決這類問題的關(guān)鍵是什么，你又是根據(jù)什么列出的等量關(guān)系？

生：兩種物品的數(shù)量成比例.

師：同學(xué)們掌握得都非常好，那么下面我們看PPT的這道題.【應(yīng)用模型】

這是教材中的例1：在一個(gè)機(jī)械加工車間，共有工人22名，如果生產(chǎn)螺釘，每人一天可以生產(chǎn)1200個(gè)，生產(chǎn)螺母，每人一天可以生產(chǎn)2000個(gè)，其中一個(gè)螺釘和兩個(gè)螺母為一套，為了保證每天生產(chǎn)的螺釘與螺母都可以恰好配套，應(yīng)如何安排生產(chǎn)螺釘與螺母的人數(shù)？

師：同學(xué)們，小組討論并思考，找到題中的等量關(guān)系.

生：螺釘數(shù)量∶螺母數(shù)量=1∶2.

生：2×螺釘數(shù)量=1×螺母數(shù)量.

生：設(shè)有m名工人生產(chǎn)螺釘，則有（22-m）名工人生產(chǎn)螺母.

可列方程2×1200m=2000（22-m），

解得m=10，22-10=12（名）.

經(jīng)檢驗(yàn)：符合題意.

答：應(yīng)安排10名工人生產(chǎn)螺釘，12名工人生產(chǎn)螺母.

教學(xué)反思：

本次課通過發(fā)放宣傳單和環(huán)保袋的問題使學(xué)生理解了它們之間的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而找到等量關(guān)系，列出方程并求解.考慮到學(xué)生的接受程度，在問題的選擇上由易到難.通過適當(dāng)?shù)腜PT演示，學(xué)生在具體的問題情境中進(jìn)行探究，同時(shí)考慮到學(xué)生的理解程度，在教學(xué)過程中，教師要給學(xué)生留出一定的時(shí)間思考，建立模型，最后使學(xué)生能夠掌握模型思想，并應(yīng)用模型解決問題.

總之，滲透數(shù)學(xué)建模思想對(duì)初中方程的學(xué)習(xí)具有一定的指導(dǎo)意義，滲透模型思想的方程教學(xué)可以有效地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，在學(xué)生以后的學(xué)習(xí)中也占有極其重要的作用.故本文以一元一次方程為例研究了在方程教學(xué)中滲透模型思想，希望能夠?qū)Τ踔蟹匠痰慕虒W(xué)乃至初中數(shù)學(xué)的教學(xué)有所啟示.

【參考文獻(xiàn)】

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