常見行列式解法探析

張夢琇* 許梅蘭

（[1]石河子大學理學院 新疆·石河子 832000；[2]烏魯木齊市第八十七中 新疆·烏魯木齊 830000）

0 前言

行列式是線性代數研究方程組的工具。求解行列式的值是解決方程組解的關鍵，在研究低階行列式時，常用行列式的性質與展開式定理求解行列式的值；對于高階的行列式，往往觀察行列式的特點，根據該行列式的特點選擇適當的方法，才是解決高階行列式的關鍵。本文主要研究對于同一道行列式的習題，采用不同的方法求解行列式，并總結不同方法的優劣性。

1 習題解答

1.1 三階行列式

分析：觀察這個三階行列式，會發現該行列式主對角線的元素均為，其余元素全為1，根據這個三階行列式的特點，下面從加邊法、拆分法、利用性質化簡以及利用方陣特征值求解行列式的值。

解：

（1）加邊法：

加邊法的本質是逆用展開式定理，增加一行、一列元素使得前后兩個行列式的值相等，利用行列式的性質將行列式化簡成上三角行列式。其優點為：增加一行、一列元素，使得行列式的化簡變得簡單。

（2）拆分法：

拆分法主要是利用行列式的性質，行列式的某一行（或某一列）均是兩個元素的和，這個行列式可以展開成兩個行列式的和。根據行列式的特點，將行列式一分為二。其優點為：將復雜的行列式的求解過程，利用性質轉成兩個較簡單的行列式的求解過程。

（3）利用性質進行化簡：

利用行列式的性質化簡行列式，主要是將行列式化成含0較多的等值行列式。這種方法適用于所有的三階行列式的求解過程。

（4）利用矩陣的特征值求行列式的值：

利用方陣與行列式的關系，通過研究方陣的特征值，求解對應行列式的值。

1.2 n階行列式

分析：觀察這個n階行列式，會發現該行列式主對角線的元素均為，其余元素全為1，根據這個n階行列式的特點，下面從數學歸納法、加邊法、拆分法以及特征值求解行列式的值，例題2的本質是例題1的有限推廣。

（1）數學歸納法：

①當n=1時，

②當n=2時，

③假設當n=k時，

所以，

當n=k+1時，

所以，對于任意階行列式D，都有上式成立。

數學歸納法一般是用在行列式值的形式與行列式的階數有關的習題上。對于階數別較低的行列式一般我們不采用數學歸納法。

（2）加邊法：

（3）拆分法：

（4）利用方陣的特征值求解行列式的值：

2 結論

比較這兩道例題可以發現，隨著行列式階數的增加，拆分法、加邊法以及方陣的特征值的方法具有普遍性，但比較發現拆分法、加邊法以及方陣的特征值方法隨著行列式的階數增加，這三種方法的計算量會增大；而利用性質將行列式化簡成上三角行列式不適用于高階行列式求值問題；數學歸納法適用具有相同結構的行列式上。因此在求解行列式的值時，要先觀察行列式的特點，根據行列式的特點選擇適當的方法。