運用動態(tài)數(shù)學技術(shù)提效初中數(shù)學建模教學
——以平面幾何中的“費馬點”問題為例

蔣文榮 康 雯 鄧 慧 譚勢威

（[1]桂林市第十九中學 廣西·桂林 541001；[2]廣西師范大學 廣西·桂林 541004）

1 問題提出

兩院院士大會提出：要把關(guān)鍵核心技術(shù)掌握在自己手中，才能從根本上保障國家經(jīng)濟安全、國防安全和其他安全。關(guān)鍵核心技術(shù)源于基礎研究，特別是數(shù)學研究，甚至有專家指出高技術(shù)本質(zhì)上就是數(shù)學技術(shù)。數(shù)學已廣泛滲透到各個領(lǐng)域，特別是人工智能時代的到來，數(shù)學在各行各業(yè)中扮演著越來越重要的角色。與此同時對人才的培養(yǎng)提出了更高的要求，在數(shù)學教育教學中，如何培養(yǎng)學生的數(shù)學應用意識與應用能力已成為迫切需要解決的問題。數(shù)學建模是數(shù)學溝通現(xiàn)實世界的橋梁，是培養(yǎng)數(shù)學應用意識與應用能力的重要活動形式。

數(shù)學建模是數(shù)學思想的一大核心內(nèi)容，在中學數(shù)學教學中培養(yǎng)學生的建模意識和建模思想方法是十分必要的，許多中學數(shù)學教師也重視數(shù)學建模教學。但在數(shù)學建模的實際教學中，存在著“數(shù)學建模教學難實施”、“費時費力”、“學生學不懂”等問題。現(xiàn)代信息技術(shù)的發(fā)展為數(shù)學建模創(chuàng)新教育注入了新的活力，如何利用動態(tài)數(shù)學技術(shù)改善數(shù)學建模教學中存在的“增負”和“弱化數(shù)學本身學習”等問題？本文借助Hawgent動態(tài)數(shù)學軟件，以“費馬點”問題為例，探討利用動態(tài)數(shù)學技術(shù)助力數(shù)學建模教學。

數(shù)學建模的主要步驟如圖1所示：

圖1

2 案例呈現(xiàn)

平面解析幾何往往有著濃厚的實際背景，經(jīng)由高度的數(shù)學抽象而來。關(guān)注平面解析幾何的實際背景，從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、進而解決問題，是發(fā)展學生數(shù)學建模素養(yǎng)的好素材。“費馬點”問題是十七世紀法國數(shù)學家、被譽為業(yè)余數(shù)學家之王的皮埃爾·德·費馬（PierredeFermat，1601-1665）提出的，本質(zhì)上是一道選址問題，在生產(chǎn)生活、物流、甚至軍事中都有著非常廣泛的應用。

2.1 作出合理假設，建立數(shù)學模型

2.1.1 實際情境引入

問題（三村短路問題）：有一個村莊，由于條件有限，打算合建一所小學，并且共同修筑從小學到各村的道路。假如你是工程設計師，請問應該將小學的地址選在什么地方，才能使修筑的道路總長最短呢？

師：你能試著從這個實際情境中提出數(shù)學問題嗎？

生1：三個村莊的位置中心構(gòu)成一條直線時，在位于中間位置的村莊建立學校可使得道路總長最短（兩點之間線段最短）。因而著重考慮三個村莊的位置構(gòu)成三角形時的情況。

生2：在 ABC中，點P在 ABC內(nèi)，問：P點在何處時使得PA+PB+PC的值最小？

圖2

2.1.2 分析問題

師：觀察示意圖，請找出變化的對象和不變的對象，并明確要解決的目標。

生：變的對象：點P、PA、PB、PC；不變的對象：ABC。要解決的目標：PA+PB+PC的最小值。

2.1.3 小組探究活動

請以小組為單位，借助皓駿動態(tài)數(shù)學軟件，尋找點P的位置。（教師巡回指導）在探究過程中，請注意以下兩個問題：（1）判斷三個點所形成的位置關(guān)系；（2）嘗試借助皓駿動態(tài)數(shù)學軟件尋找P點的最優(yōu)位置。

小組通過探究活動發(fā)現(xiàn)：（1）三角形為銳角三角形或直角三角形時，P點在三角形的內(nèi)部。（2）三角形為鈍角三角形時，P點在三角形的內(nèi)部，有時在三角形的鈍角頂點上。借助皓駿動態(tài)數(shù)學軟件進一步探究發(fā)現(xiàn)：當三角形有一個角等于120。時，P點在120°角頂點上時PA+PB+PC最小。當三角形有一個角大于120。時，此時P點的位置在最大角的頂點上。

【評析】首先，有效的數(shù)學建模教學始于精心的問題設計。以著名的“三村短路”問題引入本次教學，感受數(shù)學來源于實際生活，并服務于實際生活，激發(fā)數(shù)學建模興趣。其二，完整的數(shù)學建模過程需要進行合理假設。數(shù)學建模的目的在于解決現(xiàn)實生活中的實際問題，要用數(shù)學知識解決實際問題，必須進行合理的假設。

數(shù)學建模不能沖淡對數(shù)學本身的學習，強調(diào)把數(shù)學知識的系統(tǒng)學習置于首位。引導學生利用皓駿動態(tài)數(shù)學軟件，使學生通過拖動、測量等，快速判斷最優(yōu)選址的大概位置，減輕學生分情況討論最優(yōu)選址位置的負擔，使其親身經(jīng)歷對實際問題進行合理假設和抽象，從實際問題中提出數(shù)學問題的完整過程。

2.2 尋求已有經(jīng)驗，求解數(shù)學模型

2.2.1 聯(lián)系已知

師：你之前解決過相似的題目嗎？

生1：和“將軍飲馬”最短路徑問題相似，“將軍飲馬”問題是通過構(gòu)造對稱變換，將折線段轉(zhuǎn)化為直線段，利用“兩點之間線段最短”公理解決。

生2：解決過“造橋選址”的問題，通過構(gòu)造平移變換，將三條線段的問題轉(zhuǎn)化成兩定點之間的距離問題。

師：你能從中受到什么啟發(fā)？

生3：我們能否利用某種變換將這個問題轉(zhuǎn)化成求兩個定點之間的距離的問題。

2.2.2 遷移運用，小組探究

小組討論交流：我們學習過什么基本變換？采取那種變換比較合適？怎么變換？并借助皓駿動態(tài)數(shù)學軟件驗證結(jié)論。

問題預設：學習過對稱變換、平移變換、旋轉(zhuǎn)變換。采取旋轉(zhuǎn)變換比較合適，如圖所示，可將 APC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到 AP′C′，此時，PA=PP′，PC=P′C′，PA+PB+PC 就轉(zhuǎn)化成了PB+PP′+P′C′。P點是動點，P′經(jīng)由P點繞點A旋轉(zhuǎn)60。得到，隨P點變化而變化。此時點B和點C′為定點，轉(zhuǎn)化成了求兩定點之間的距離問題，當B、P、P′、C′四點共線時，有 PA+PB+PC=PB+PP′+P′C′最短。

圖3

【評析】建構(gòu)主義學習理論認為，學生并不是空著腦袋走進課堂的，教師不能無視學生的已有經(jīng)驗，而應該把已有知識經(jīng)驗作為新知識的生長點。數(shù)學建模本身就是一個微型的科學研究過程，這個過程必須以扎實、優(yōu)化的數(shù)學知識結(jié)構(gòu)為基礎。本問題的難點就在于構(gòu)造圖形旋轉(zhuǎn)變換，從學生熟悉的最短路徑問題“將軍飲馬”和“造橋選址”問題中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，動態(tài)數(shù)學技術(shù)助力探究發(fā)現(xiàn)，破解難點，為成功數(shù)學建模指明方向，促使學生成功構(gòu)造旋轉(zhuǎn)變換解決問題。

2.3 把握問題中心，優(yōu)化模型解決

2.3.1 回歸問題

問題1：題目要求的是什么？你能準確找到點P的位置嗎？

問題預設：求解目標是找到點P的位置，使得PA+PB+PC的值最小。

生 1：借助皓駿動態(tài)數(shù)學軟件，拖動點 P，使得 B、P、P′、C′共線時，P點的位置即可確定。

生2：借助動態(tài)數(shù)學軟件拖動可能存在一定的誤差，且沒有動態(tài)數(shù)學技術(shù)支持時更難找到點P的位置。

2.3.2 優(yōu)化方法

問題2：不借助皓駿動態(tài)數(shù)學軟件，嘗試找到點P的位置。

問題預設：如圖所示，將 APB繞點A向三角形外旋轉(zhuǎn)60°，得到 AP′′B′，當 B′、P′′、P、C 共線時，有 PA+PB+PC=PP′′+PB′+PC最短。此時，連結(jié)點 B′、點C，B′C與線段 BC′的交點即為所求P點。

圖4

2.3.3 結(jié)果檢驗

借助Hawgent動態(tài)數(shù)學技術(shù)軟件，在 ABC內(nèi)任取一點P1，連結(jié)P1A、P1B、P1C并分別測出其長度，拖動點P1，驗證P點是否為使PA+PB+PC最小的點。

【評析】首先，主動發(fā)現(xiàn)問題，樂于數(shù)學建模。如果學生能主動積極地提出有價值的、自己感興趣的問題，那么學生建模時會更有創(chuàng)造性、積極性，會樂于從不同的角度、層次探索建模的方法。如果可能，在討論結(jié)果的過程中，仍要不斷地提出問題，同時把一個特殊的問題放到更加寬闊的背景里，這樣才有可能發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學結(jié)論，這些機會對于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維是非常重要的。引導學生抓住問題中心，明確“找到點P的確切位置”這一目標，讓學生發(fā)現(xiàn)借助技術(shù)來解決問題的不足——不能精準找到P點的位置，促使學習源起于學習者的主動需要，進而促使學生主動借助嚴謹?shù)臄?shù)學推理來解決這一問題。

其次，在數(shù)學建模的過程中應始終明確解決的目標，鼓勵學生依據(jù)要解決的目標自主評價數(shù)學模型、模型解決方法等，發(fā)現(xiàn)不足，并不斷優(yōu)化模型，調(diào)整解決的方式方法，最終解決問題。

最后，檢驗是數(shù)學建模不可或缺的一個重要步驟，引導學生進行檢驗和完善有利于養(yǎng)成良好的數(shù)學建模習慣。

2.4 變式中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，完善數(shù)學模型

變式 1：如圖，P為 ABC內(nèi)的一點，當∠APB=∠BPC=120。時，證明點P到 ABC三個頂點的距離之和最短。

圖5

證明：將 APC繞點A向外旋轉(zhuǎn)60°，得到 AP′C′，由“有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形”知 P′AP為等邊三角 形；∴∠APP′=60°，∠AP′P=60°，又∵∠APC=∠AP′C′=120°，根據(jù)平角等于 180°可知 B、P、P′、C′四點共線，由“兩點之間線段最短”可知，P點到 ABC三個頂點的距離之和最短。得證。

2.4.1 觀察發(fā)現(xiàn)，提出并驗證猜想

（1）猜想：在三角形內(nèi)部對3邊張角均為120°的點P到ABC三個頂點的距離之和最短。

（2）借助皓駿動態(tài)數(shù)學軟件，改變?nèi)切?ABC的形狀和大小，觀察點P對3邊張角的度數(shù)，發(fā)現(xiàn)點P對3邊張角的度數(shù)均為120°，猜想得到驗證。

變式2：如圖，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，M為矩形內(nèi)一點，E為BC邊上任一點，求MA+MD+ME的最小值。

圖6

【評析】發(fā)現(xiàn)問題、提出問題并解決問題是發(fā)展數(shù)學建模素養(yǎng)的主要途徑。變式1由費馬點的另一定義改編而來，經(jīng)歷了之前找費馬點的過程，學生要成功解決該問題并不難。設置變式1的目的在于：一，通過遷移運用，鞏固數(shù)學建模思想方法；二，引導學生發(fā)現(xiàn)問題，提出問題并解決問題，從練習中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，技術(shù)助力猜想，形成對費馬點的深刻、完備的認識。變式2將費馬點問題放在矩形當中，打破“只有看到三角形求三條線段最短之和”時才想到“費馬點問題”的定勢思維，緊緊抓住費馬點問題的本質(zhì)，從而達到以不變應萬變之效。兩道變式緊扣教學主題，層層遞進，引發(fā)思考，促進深度理解。

3 總結(jié)歸納，體會模型思想

3.1 小結(jié)歸納

1643年，在一封寫給意大利數(shù)學家和物理學家托里拆利的私人信件中，費馬提出了這個極富挑戰(zhàn)性和趣味性的幾何難題，請求托里拆利幫忙解答（也有一種說法是費馬本人實際上已經(jīng)找到了這個問題的答案，他是為了挑戰(zhàn)托里拆利才寫信向他“請教”的），托里拆利和他的學生維微安尼經(jīng)過一段時間的研究終于解決了這個問題，這個特殊點P后來被成為費馬點。同學們，今天我們成功解決的就是著名的“費馬點”問題。你能試著描述費馬點嗎？

生1：在三角形內(nèi)且到三角形三個頂點距離之和最短的點稱為△ABC的費馬點。

生2：在△ABC中如果有一點P，使∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，則稱P為其費馬點。

3.2 拓展延伸

你還能用其它方法找到費馬點嗎？

【評析】形成結(jié)論是數(shù)學建模活動必不可少的一環(huán)。以費馬點的故事背景結(jié)尾，給學生以成功的體驗；引導學生描述費馬點的定義，形成對費馬點系統(tǒng)的認識；引導學生總結(jié)問題解決方法，以便學生進行歸納并進行遷移運用。