積累基本圖形，走入幾何

湖北省武漢市第十二初級中學 裴 紅

一、積累基本圖形的意義

初學幾何的同學總感覺證明題目太難了，苦于看不清圖形，找不到證明的方法，特別是對于初一年級的學生而言，學會識圖是幾何入門的第一關。學會識圖主要指：（1）能從不同角度、不同方位去看圖形；（2）熟悉基本圖形；（3）利用標準圖形認識變式圖形；（4）善于把復雜圖形分解為基本圖形。由此可知，在初一學生學習幾何的過程中，識別基本圖形的過程就是學會識圖的過程。

二、積累基本圖形的途徑

1.課本學習的總結歸納

中學生的解題積累基本上就是課本的學習積累，因此，對課本學習內容進行總結歸類，是積累基本圖形的一個基本途徑。比如：

（1）每一個關鍵概念、每一條重要定理都對應一個基本圖形。相交線（垂線）、平行線是兩條直線的位置關系，是基本圖形；對頂角、鄰補角、“三線八角”，也可以算是基本圖形；三角形的邊、內角、外角、中線、高、角平分線、面積等也組成基本圖形。

（2）每一單元學習之后，對例題、作業進行一些總結，弄清一共有幾個主要基本圖形？每一基本圖形對應哪些基本結論？對于這些基本結論各有哪幾種解決方法？哪種方法比較簡潔？這既是一個解題反思的過程，又是一個積累基本圖形和基本結論的過程。下面舉例說明。

例1：觀察下面兩個八年級上冊的課本原題。

（第17 頁習題9）如圖，∠1=∠2，∠3=∠4，∠A=100°，求x 的值。

例1 變式1：將基本圖形1 的條件變化，可得基本圖形2 與基本圖形3。

例1 變式2：將基本圖形1 一般化，可得基本圖形4 和基本結論4：如基本圖形4，在四邊形ABPC 中，∠P=∠A+∠ABP+∠ACP。

進一步觀察基本圖形4 可得下列結論：

基本結論5：∠P＞∠A。

基本結論6：AB+AC＞PB+PC。

2.解題過程的分析提煉

一方面，可以將題目加以組合或分解，使組合后的新問題或分解后的各個子問題成為基本圖形；另一方面，也可以將基本圖形加以深化或重組，用整合過的綜合圖形來解決所面臨的問題。

例2：（節選自七年級下冊課本第7 頁練習2）如圖2-1，∠1 與哪個角是同旁內角？它們分別是哪兩條直線被哪一條直線所截形成的？

例2 的圖形比較復雜,要解決這個問題,就需要確定∠1 是哪兩條直線被哪一條直線所截形成的,所以我們引導學生分類討論截線,得到圖2-2、圖2-3、圖2-4,從而解決問題。

3.基本圖形網絡化

這種積累基本圖形途徑的本質是：形成知識網絡，優化認知結構，在這個積累知識的過程中，會形成越來越清晰的思維路徑圖，而這個思維路徑圖又會在基本圖形積累中越來越牢固、越來越暢通。下面舉例說明：

例3：

（1）“疊加”探究基本圖形

學習了三角形外角定理后，可以得到基本圖形5。將兩個基本圖形5 疊加可以組成基本圖形2 和基本圖形6，再將兩個基本圖形6 疊加又可以組成圖3-2。

（2）“分解”探究基本圖形

如圖3-1，在基本圖形4 中，延長BP 交AC 于M，可以得到兩個基本圖形5。

（3）“互推”探究基本圖形

（4）“結網”探究基本圖形

整體觀察上述思維路徑圖，可以發現其核心圖形為基本圖形5，觀察從基本圖形2 到基本圖形1、基本圖形3 的互相轉化的過程，它們主要是依據基本圖形7 構造直角三角形，利用基本圖形5 將這三個結論串聯起來，就可以達到“憶一個出一串”的效果。

隨著學生所學知識的增多，上述思維路徑圖還會不斷生長。幾何學習的過程就是通過不斷完善思維路徑圖，提高學生識圖、辨圖、用圖的空間能力，發展學生的空間觀念。