有趣的“雙胞胎”之線段中點和角平分線

江蘇省南京市雨花臺中學初一（9）班 楊恒一

線段和角是豐富的幾何世界中最基本的常見圖形，不同的線段（角）之間，蘊含著豐富的和差關系和倍數關系，而線段的中點和角的平分線則是有趣又實用的重點內容。在《學習與評價手冊》的最后一頁，有這樣一題引起了我極大的興趣，通過解題和進一步思考，我發現了線段中點和角平分線中存在很多一致的地方，就像有趣的“雙胞胎”一樣！

【題目（簡化版）】

（1）已知線段AB=10 cm，在直線AB 上有一點C，點M、N 分別是線段AC 和BC 的中點，求線段MN 的長度；

（2）已知∠AOB=90°，若射線OC 在∠AOB 的內部，射線OM，ON 分別平分∠AOC 和∠BOC，求∠MON 的大小；若射線OC 在∠AOB 的外部，其余條件不變，再次計算∠MON 的大小，你發現了什么？

【解答（簡化版）】

【思考與分析】

這兩題一個求線段，一個求角，看似涉及的知識點不同，但細想之下發現，卻有以下四點一致：

一、“源頭”一致

“中點” 是將線段平分，“角平分線” 是將角平分。它們都是將一個大的總體分割成兩個相等的小部分，本質都是在做平分。從概念這個“源頭”來說，完全一致。

二、“結構”一致

問題（1）中，用到了MN=CM+CN 和MN=CM-CN；問題（2）中，用到了∠MON=∠COM+∠CON 和∠MON=∠COM-∠CON。對比兩個結構，完全一致，都是利用兩個部分相加或者相減，而這兩個部分都是利用線段中點或角平分線的概念得出的“一半”。

三、“結論”一致

四、“思想”一致

兩題都用到了“分類討論”的思想方法，針對“形內”和“形外”分別構圖討論。第一題，求線段MN，給的條件是“直線AB 上有一點C”，“直線”二字就意味著點C 可以在線段AB 內部或外部延長線上。同學們經常容易思維定式，構圖時忽略第二種。第二題，為了降低難度，分開提問，也是提醒同學們要注意兩種情況。

同時，這兩題都用到了“數形結合”，雖然是在探索線段的長度或者角的度數，但必須借助圖形分析，離開圖形談數量分析，必然是不可靠的。掌握好這些思想方法，不僅僅對學好數學有很大的促進作用，甚至在分析很多生活中的問題時也很有用！

【延伸與拓展】

“線段中點”和“角平分線”都是對總體二等分，我們還可以將這種思想延伸到線段的三等分點與角的三等分線來進行改編和探索，是否也能利用同樣的套路分析，得到類似的結果呢？

通過對比線段的中點和角平分線中的四點一致的探索以及進一步延伸與拓展，可以加深大家對這些知識的理解，能夠更好地把握重點。類比這些“雙胞胎”題的分析方法與套路，可以舉一反三，鍛煉我們的數學思維，提高我們的分析能力和探索能力！