冰雹猜想中的白言規(guī)則

中國林業(yè)科學(xué)研究院 林產(chǎn)化學(xué)工業(yè)研究所 李 科

冰雹猜想：對于任一正整數(shù)，如果它是奇數(shù)，那么對它乘3 加1；如果它是偶數(shù)，那么對它除以2。如此循環(huán)，終將回到1（被稱為數(shù)學(xué)不可及的問題）。它風(fēng)靡全球，無論是中小學(xué)還是高校師生都為之著迷，但近百年無人能破解其中秘密，然而白言規(guī)則（LiKe’s rule）指出了其變化規(guī)律：正整數(shù)在考拉茲算法下都會轉(zhuǎn)變?yōu)?n-1形式的數(shù)，3n-1 再轉(zhuǎn)變?yōu)楦〉?m-1 并最終經(jīng)32-1、31-1 回到1（讓猜想變得觸手可及）。那么正整數(shù)為何會按此規(guī)律變化呢？文獻(xiàn)中雖做了詳細(xì)證明，但過于學(xué)術(shù)。為便于理解和推廣，本文避開相關(guān)證明，僅從變化規(guī)律入手，加以簡化，盡量做到讓廣大中學(xué)生一目了然。詳見下文：

一、冰雹猜想

冰雹猜想是一個風(fēng)靡全球的數(shù)字游戲。按照上述規(guī)則，6 和23的變化過程如下：

6：6， 3， 10， 5， 16， 8， 4， 2， 1；

23：23， 70， 35， 106， 53， 160， 80， 40， 20， 10， 5， 16， 8， 4， 2， 1。

無論你選什么正整數(shù)，都將會回到1。不信你可以試試，不在此贅述。

二、白言規(guī)則

對于上述的兩個數(shù)6 和23，它們在變化過程中分別經(jīng)歷了8 和80。而8=32-1，80=34-1，它們均是3n-1 可表示的偶數(shù)；且23 在變化到80 后又降至8（32-1），這都完美符合白言規(guī)則。其他數(shù)也是如此，比如27 經(jīng)過242（35-1）再降至80（34-1），8（32-1），回到1。

三、變化規(guī)律

那么為什么所有正整數(shù)都會符合白言規(guī)則呢？這就不得不從LiKe 揭示的變化規(guī)律說起。LiKe 在研究猜想時不僅巧妙地研究奇數(shù)，且靈活地根據(jù)奇數(shù)乘3 加1 后必可除以2 將這兩步歸為1 步，并出奇地只研究僅有該變化的數(shù)（2n-1），制作表格后使得潛藏規(guī)律奇跡般地躍然紙上，詳見表1。

表1：LiKe 研究奇數(shù)變化的簡表

從表1 中可以看出以下5 條明顯的規(guī)律：

（1）偶數(shù)經(jīng)除以2 都會轉(zhuǎn)變?yōu)槠鏀?shù)。這是因?yàn)樗信紨?shù)除以2 得到的是全體整數(shù)，若將偶數(shù)再除以2 又是整數(shù)，不斷循環(huán)。最終所有偶數(shù)都可以轉(zhuǎn)化為奇數(shù)，所以只需研究表1 中的奇數(shù)L0(1,3,5,7,…,0) = {2n-1 ∣n ∈Z+}即可。

（3）對經(jīng)乘3 加1 再除以2 后為偶數(shù)的奇數(shù)，經(jīng)過考拉茲運(yùn)算也會轉(zhuǎn)變到On1和Ln。這是因?yàn)長0產(chǎn)生的偶數(shù)會再次降至L0并最終100%可轉(zhuǎn)變到1 或L1；同理，Ln-1產(chǎn)生的偶數(shù)同樣是100%可轉(zhuǎn)變到L0或Ln，并最終轉(zhuǎn)變到On1和Ln。

（4）所有奇數(shù)L0(1,3,5,7,…,0)都可轉(zhuǎn)變?yōu)镺n1數(shù)列集合(1，5，17，53，…，On1)中的項(xiàng)。這是因?yàn)閷λ衅鏀?shù)L0(1，3，5，7，…，O)可轉(zhuǎn)變到O01和L1，L1可轉(zhuǎn)變到O11和L2，并最終得到數(shù)列Ln(On1，On2，On3，…，Onm)，且無確定的奇數(shù)可一直增至L∞。而這其中，又只有Ln的首項(xiàng)On1是不可延續(xù)的，所有給定的奇數(shù)必將轉(zhuǎn)變?yōu)樽钚∑鏀?shù)On1數(shù)列集合(1，5，17，53，…，On1)={2×3n-1|n ∈Z}中的項(xiàng)。

（5）綜上，On1∈(1，5，17，53，…，2×3n-1)={2×3n-1|n ∈Z} 奇數(shù)，那么On1也必然會經(jīng)過上述變化再次回到數(shù)列On1{2×3n-1|n ∈Z}中；

對于以上結(jié)論，只要擴(kuò)展表1 并耐心推演，都是顯而易見的。還有一點(diǎn)同學(xué)們恐怕難以理解，且在表1 中也并非一目了然，需稍加說明。

（6）2×3n-1 經(jīng)過奇數(shù)乘3 加1 和偶數(shù)除以2 的操作，只會轉(zhuǎn)變?yōu)楦〉?×3m-1，即m ＜n。

本文避開煩瑣的證明過程，僅用顯而易見的規(guī)律及邏輯推理詮釋了一個重要的數(shù)學(xué)概念——冰雹猜想中的白言規(guī)則（LiKe’s rule）：對于所有正整數(shù)，如果按照奇數(shù)乘3 加1，偶數(shù)除以2 來不斷運(yùn)算，偶數(shù)中2 的冪可直接降至1，非2 冪的偶數(shù)均可轉(zhuǎn)化為奇數(shù)；所有奇數(shù)均可轉(zhuǎn)變到LiKe 第二數(shù)列{3n-1 ∣n ∈Z+}=（2，8，26，80，…，3n-1）中的數(shù)；3n-1 再不斷降低至8（32-1）回到1。全文化繁為簡，旨在便于中學(xué)生理解，從而進(jìn)一步加強(qiáng)對未知問題的求索興趣。