不“破”不“立”，滲透數學模型思想

江蘇省昆山高新區漢浦中學 周雨馨

作為數學核心素養之一的數學模型思想，在日常教學中往往會忽略建模的發生過程。數學模型思想的培養，“建”的過程比“用”更重要，故而在日常教學中應該更注重“看破”問題、“建立”模型的過程，讓學生經歷勝于讓學生知道，不“破”不“立”。

一、初次教學及分析

1.設置有效活動，注重數學模型思想的培養

【案例 1】 正切概念的引入

一般情況下，學習正切之前，教師都會問“直角三角形的邊、角各有什么關系”，進一步，“直角三角形的邊與角之間又有什么關系”，從而呈現正切的概念模型，隨之就是大量的鞏固練習。這樣處理，實際上學生對正切這個數學模型感覺很神秘、理解不透徹。而通過設置合適的有效活動，能讓學生從中尋找不同的角度切入，找到思考點。

正切概念的引入有兩種常見的活動設置：一種是移動靠在墻上的梯子，探究“如何比較梯子的傾斜程度”，抽象出傾斜程度與線段之間的關聯性；另一種是對于一組臺階，探究“如何比較臺階哪個更陡”，抽象出傾斜角度的相關線段的關系。兩種情景引入都是從生活現實入手，讓學生在變化的情境中思考“從數學角度你有什么發現”，引導學生復習舊知，提出在構成的直角三角形中角與線段的關系的問題，抽象得到正切模型。通過有效活動的引入，學生在實踐中學會思考“模型是怎么來的”，首先能夠“看破”這個模型，之后才能學會“建立”更多模型，這也培養了學生的抽象能力和建模意識。

2.通過變式教學，關注數學模型思想的運用

【案例 2 】全等三角形的“一線三等角”模型

已知：在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，AE 是過點A 的一條直線，且BD ⊥AE 于D，CE ⊥AE 于E。

（1）當直線AE 處于如圖1 的位置時，有BD=DE+CE，請說明理由；

（2）當直線AE處于如圖2的位置時，則BD，DE，CE的關系如何？請說明理由；

（3）歸納（1）（2），請用簡潔的語言表達BD，DE，CE 之間的關系。

通過變化的圖形，考驗學生對“一線三等角”等基本模型的理解，培養學生從復雜圖形中抽象基本圖形的能力，達到“看破”圖形、“建立”模型、解決問題的目的。這種變式教學，教師可以讓學生在具體解題過程中感受到共性，幫助學生發現知識之間的聯系，引導學生自發尋找規律，用數學語言抽象其中的共性，形成穩定的數學模型，從過程中體會“建?！钡谋匾?，加深對模型的理解，拓展學生思維的廣度和深度。通過變式，讓學生感受數學模型思想的妙處，從而在日常解題中潛移默化地學會抽象數學模型、自構模型。

二、借助學后反思實現數學模型思想的總結

【案例 3】 用方程（不等式）解決實際問題

從用一元一次方程、二元一次方程組、一元二次方程、分式方程解決問題再到用不等式解決問題等，每一小節的學習都強調了一個閉合模型結構：將實際問題通過審（已知量、未知量、等量或不等量關系）、設（未知數）轉化為數學問題，再根據數學問題找到數學模型列（方程或不等式）并求解得到數學解，最后通過檢驗數學解是否符合實際得到實際解，從而解決一開始提出的實際問題。

在這類問題中，數學模型思想是重中之重，教學重點是建立方程（不等式）模型，教學難點是從實際問題中找到等量（不等量）關系抽象出方程（不等式）進行數學建模。在這類問題中，模型思想是通過建立適當的數學模型把問題轉換成熟悉的模型，比如，商品模型、工程模型、路程模型等。教師在相似知識點教學活動后，通過問題啟發學生對舊知的聯想生成，反思總結所學，體會解決同類問題的策略，將數學模型歸納，培養學生 “拓?！蹦芰Γ嵘龜祵W建模能力。

三、教學反思及建議

1.遞進式建模教學

遞進式建模教學就是在循序漸進的原則下，“潤物細無聲”，通過教學將建模過程層層遞進，問題條件逐步一般化，難度逐步提升，形成認知沖突，激發求知欲望，呈現與學生思維最近發展區相適應的學習任務，讓學生自然生成。只有學會了如何“破”題“立”模，才能從根本上解決問題，逐漸加深學生對數學模型思想的理解，培養數學核心素養。

2.自主式建模教學

由于每課時都有相對獨立的學習目標，學生很少有機會經歷從實際情景中用數學眼光發現問題、建構模型、解決問題的完整過程，真正獨立解決問題時往往“空有一身修為”。因此，在教學過程中要更多地以學生為中心，讓學生不斷感受解題過程中的趨向性，感受模型和具體數學知識之間的關聯，自主完成數學模型建立的過程。

3.背景式建模教學

在日常教學中，教師對數學模型思想的滲透，讓學生產生了“只要找到模型就能用”的錯覺，忽略了模型的背景——模型成立的條件、模型的本質?！澳Ｐ突忸}”確實可以幫助學生有效提高解題速度，化難為易，化陌生為熟悉，但簡單的“套?！睂嶋H上忽視了思維過程的呈現。教師應加強模型生成的教學，強化對模型本質與規律的背景挖掘，讓學生知其然，更知其所以然，優化思維方式，提升分析問題、解決問題的探究能力，真正實現數學“建”模，滲透數學模型思想。