初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中“概念圖
——題組教學(xué)”模式——以三角形的內(nèi)角平分線定理的證法為例

福建省石獅市華僑中學(xué) 鄭惠容

2017 年泉州中考模擬卷3 的第22 題是一道證明三角形內(nèi)角平分線定理的題目，考完之后，發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生都不會(huì)證明。學(xué)生不會(huì)證明的原因在于沒有熟練掌握成比例線段的基本方法，不懂得把它轉(zhuǎn)化為相似三角形的基本模型進(jìn)行解決。其實(shí)只要學(xué)生懂得轉(zhuǎn)化，要解決這樣的問題就易如反掌了。那么，證明成比例線段有哪些最基本的模型呢？

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分析：要證明四條線段成比例，常用的方法是證明三角形相似，但在本題中我們發(fā)現(xiàn)，以線段AB、BD、AC、CD 為邊所構(gòu)成的兩個(gè)三角形△ABD 與△ACD 是不相似的。那么如何證明這四條線段成比例呢？下面將對(duì)本題的解法做以分析。

思路一：轉(zhuǎn)移線段法

由于這四條線段所在的三角形不相似，可都考慮“移”其中的一條線段，達(dá)到構(gòu)造兩個(gè)相似三角形的目的。

證法1 和證法2 是通過作平行線來“移”線段AB 和線段AC。其實(shí)，也可以把它們“移”到射線BA、CA 上來，構(gòu)成熟悉的“A”型或“X”型相似。我們也可以考慮“移”線段BD 或線段CD。

以上兩種證法的思路都是“移”四條線段中的一條線段，從而轉(zhuǎn)化為相似三角形的基本模型“A”型、“X”型相似。

思路二：尋找“中間比”

除了上述的“移”法外，尋找“中間比”也是常見的證明線段成比例的方法之一。

思路三：利用割補(bǔ)法

與三角形的全等類似，我們也可以采用“以大割小”或“以小補(bǔ)大”的思想來構(gòu)造三角形相似。而“移”線段其實(shí)也是一種“割補(bǔ)”的思想，那么還有其他“割補(bǔ)”的方法嗎？

【思考】如圖8，想一想：如果AD 是△ABC 的外角平分線，與BC 的延長線交于點(diǎn)D，那么是否還可以得出與內(nèi)角平分線類似的結(jié)論？如果有，如何證明？你是否可以用類比三角形內(nèi)角平分線定理的證明方法的思想中得出某些啟發(fā)？

你可以動(dòng)手試試看，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，證明三角形內(nèi)角平分線定理的幾種方法均可用于證明三角形外角平分線定理，在這里，就不再重復(fù)敘述。

本文只涉及一道題目，但復(fù)習(xí)了證明比例式的基本思想與方法，構(gòu)造基本的相似三角形：“A 型”或“X 型”（兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似）；平行線分線段成比例定理；通過尋找中間比進(jìn)行證明。誘發(fā)一題多解的方法很多，教師應(yīng)根據(jù)問題的特點(diǎn)，結(jié)合學(xué)生的實(shí)際，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，適時(shí)加以點(diǎn)撥與引導(dǎo)，促使學(xué)生運(yùn)用不同的解題思路去解決問題。