核心素養背景下的高中數學概念教學

西安交通大學蘇州附屬中學 梁 超

不少學生從初中步入高中后，對數學學習逐漸產生畏懼、挫敗感，一方面是因為高中數學內容更廣、更深，另一方面是因為學生對基礎知識的理解不透徹，沒有熟練掌握基本學習應用方法。2017 年版《普通高中數學課程標準》（以下簡稱《課程標準》）明確提出了六個數學核心素養：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析。隨著課程改革和新高考方案的不斷推進發展，高中數學教育越來越關注數學核心素養的培養。學生的學習是基于教材的，對數學的理解與把握是日積月累的，數學核心素養的發展也應是循序漸進的。教師在平時的教學中要特別注重對基礎知識的講授，只有將地基打牢了，才能建造出堅固的房子。概念教學作為基礎知識中的重要環節，應當引起教師和學生的充分重視。

一、概念教學的重要性

數學發展的歷史告訴我們，每一個數學概念的形成和發展都充滿了豐富多彩的經歷，是數學家們美妙智慧的結晶。有了數學概念，才會有相應的定理、性質，可以說，數學這座雄偉的宮殿正是建造在一個個概念之上的。數學概念是學生構建知識體系的根基，如果概念理解不透徹，往后的解題很可能是機械化的操作，難以激起學習數學的興趣。例如有一部分學生常常將函數的零點、極值點寫成一個坐標，這正是因為在初次學習概念時，沒有深入理解這里的點不是坐標，而是實數，也正如把截距錯誤地記憶成某種距離，還有學生會把兩個單調區間用符號“∪”連接起來，說明對區間的概念就沒有認識到位，區間是一段連續的范圍，這樣用“∪”連接起來的兩段范圍首先都不是區間了，往往也會破壞函數原來的單調性。

數學概念既是章節內容的根本，也往往是各個知識點之間的聯系紐帶。比如“任意角的三角函數”作為高中數學的重要概念，是緊接著學習三角函數關系推導、三角函數的圖像和性質的重要基礎，也與后續向量、參數方程等知識的學習有著緊密的聯系。在新授課時，教師應當舍得花時間與學生一起研究概念對象，分析概念是怎么來的、為什么要這么定義，充分認識概念的內涵。這既是幫助學生夯實基本功的有效途徑，又能調動學生自主探究的積極性。

二、如何開展概念教學

筆者曾經做過調查統計，相對于習題課，學生實際上更喜歡概念新授課。心理學研究表明，學生獲得數學概念的過程往往是一個概念的心理表征的構建過程，而構建來自主體對相關事件的豐富體驗，體驗某一概念是如何形成的、又是如何發展的，從中領會概念所蘊含的深刻內涵。因此，教師應當通過創設情境，引導學生發現問題、提出問題、解決問題，在感性認識的基礎上，通過觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括等活動學習概念。在具體教學實踐中，教師可以考慮從以下三個方面設計概念教學：

1.基于基本經驗，提升思維品質

這樣安排既有利于幫助學生鞏固對函數概念的認知，又能激發學生思考。學生在推廣概念的過程中，不難想到去構建任意角對應的直角三角形，確立任意角的三角函數，更能充分理解點的坐標與三角函數的關系。類似的，當學生系統學習完指數函數后，教師可以從定義域、值域、圖像、性質等方面引導學生主動進行關于對數函數的探究學習。通過新舊概念之間的聯系對比，既能深化理解概念，又能形成知識點的前后呼應，形成知識網絡。如果教師直接照本宣科地講授概念，學生沒有經歷深入思考的過程，對概念的理解只能停留在表面。教師應當幫助學生積累數學活動經驗，由量變到質變，完成認知的飛躍，才能有利于培養優秀的思維品質。

2.創設具體情境，導入抽象概念

理想的教學情境能為學生的思維活動營造積極有意義的氛圍，能讓學生在自主發現探究的過程中經歷知識的生成。創設概念教學的情境可以從兩方面入手：一個是生活實際，另一個是理論問題。數學與生活實際是緊密聯系的，很多數學知識都有其實際含義，數學概念更是如此。必修五在引入等差數列前，給出了奧運會、某電信公司的一種計費標準、儲蓄月利率（單利）三個實際例子。在介紹等比數列前也列舉了放射性物質的衰變、轎車折舊率、投資收益率（復利）三個實際例子。一方面可以讓學生觀察發現更多這樣的實際生活例子，另一方面引導學生歸納出這類數列的特點，思考如何用數學語言表述這類數列。

不少學生在學習完概念后沒過多長時間就記不全或者記憶錯誤，甚至完全遺忘，主要是因為學習概念時沒明白這個概念是怎么來的、為什么要這樣定義、能解決什么問題。教師根據學生的心理特點和認知水平，不管是通過選取鮮活的實際例子，還是提出有思考價值的理論問題創設具體情境，目的都是要調動學生深入積極地思考，讓學生像數學家一樣學數學、做數學、用數學。

3.滲透數學思想，融入數學文化

數學文化涉及面廣泛，有豐富的內涵，表現形式多種多樣，伴隨學生整個數學學習的過程。著名數學家李大潛曾指出：數學文化的滲入，雖然表面上看僅僅是一個配角，但在密切結合數學內涵這一載體的講授過程中，卻不顯山、不露水地起著畫龍點睛的作用。數學思想作為數學文化的重要組成部分，本身就是豐富多彩的，常用的有數形結合思想、化歸思想、分類整合思想、函數與方程思想、歸納推理思想等。概念教學作為章節起始課，教師從比較寬廣的角度去設置探究活動，將數學思想作為數學文化的一個切入點融合到概念教學中，能夠起到四兩撥千斤的作用，提高學生的課堂參與度，培養合作組織能力并提升綜合素質。

函數思想是聯結高中數學的一條主線，函數的概念是高中學生接觸的第一個非常抽象的數學概念，將其稱為最重要的高中數學概念也不為過。能否將函數的概念認識到位、理解透徹，對學生整個高中數學學習的思維方式和思維能力有著重要的導向作用。在函數概念的學習過程中，難免會出現經驗認知的偏差和沖突，這應該是一個循序漸進、逐步深化的過程。教師可以采取小組合作探究的形式充分調動學生的積極性，讓各小組課前主要研究三個問題：（1）預習函數的概念，結合初中所學舉例說明對函數的認識；（2）根據教材的閱讀材料介紹函數概念的發展，搜集教材中沒提到的有意思的數學故事或有價值的數學問題；（3）你們小組對函數的概念有沒有感到困惑的地方或者有沒有想進一步研究的問題？通過課前的充分準備，學生在課堂上交流互動，能夠從函數思想的形成與發展過程中體會到函數概念的建立不是一蹴而就的，而是凝聚了一代代數學家的聰明才智。只有充分理解把握函數的概念，才能在今后的學習中養成用函數思想思考問題的習慣，深化各部分知識的聯系，更有利于培養學生的辯證思維能力。這樣研究小課題的概念學習方式每學期可以開展一次，也適用于向量、圓錐曲線、復數等概念的學習，學生在課題學習研究的過程中能夠充分體會到數學文化的魅力。

三、核心素養對概念教學的啟示

《課程標準》指出：數學學科核心素養是數學課程目標的集中體現，是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態度與價值觀念的綜合體現，是在數學學習和應用過程中逐步形成和發展的。大體來說，數學概念教學的目標是讓學生了解概念的來由和發展，理清相關知識點之間的邏輯關系，能夠正確地運用概念解決相應問題。對抽象的數學概念的理解本身就對學生的數學抽象素養提出了一定要求，當學生能夠積極地投入概念形成的過程中時，自然會提升數學抽象能力。教師在進行概念教學設計時，可以明確各階段學生應當發展的數學核心素養。以等差數列和等比數列的概念學習為例，首先從觀察舉例到概括抽象的過程中培養學生的數學抽象素養和數學建模素養；其次，通過通項公式的探究培養學生的邏輯推理素養；最后，通過例題練習的解答培養學生的數學運算素養。我們也應認識到六大素養并不是單獨孤立的，在具體的情境中很可能是同時發展的。比如在獨立性檢驗和回歸分析的學習過程中，數據分析與數學運算是緊密聯結在一起的。總之，教師在概念教學中不僅要考慮如何引入、形成、鞏固和應用，更要思考怎樣恰到好處地將核心素養的培養融入其中。

數學概念的學習和教學歷來都是教師的重點研究對象，流于表面機械化地學習概念一直是個突出問題，筆者嘗試在核心素養背景下思考如何提高概念教學的有效性。如果脫離了對數學概念的正確理解，是不可能進行嚴謹的數學思維活動的，也無法構成有效的數學思想和方法。教師和學生首先要對概念學習引起足夠的重視，其次應當在教學中利用好教材，又不局限于教材，創設合適的教學情境，提出合適的數學問題，帶領學生感受數學之美，最大限度地調動學生學習數學的積極主動性，這樣才能幫助學生真正理解掌握概念，走進數學的世界。