初中數學解題教學之“預設”與“生成”的策略

江蘇省江陰市夏港中學 姚菁菁

問題和解題是數學學習的心臟。解題過程是充分應用所學知識分析問題并尋找答案的過程，是培養學生數學應用技能的重要手段。在對初中生數學解題進行探究中發現，一些學生只會埋頭解題而不會反思，解題過程中不會主動發問，主體意識仍未覺醒。從教師方面看，解題中采用的“題型+模仿+練習”的模式，多以教師講為主。要提高初中生的數學解題能力，不僅要提前做好預設，還要關注學生在解題過程中的表現，形成師生互動，促進解題教學的動態生成。

一、預設一般方法，夯實基礎知識

課堂的預設和生成猶如孿生兄弟，如果沒有預設，生成也就成了空談。在解題教學中，更多的是要讓學生掌握解題的一般方法，即要讓學生從掌握知識過渡到應用知識，形成“再創造”。為此，在預設中，教師要緊密結合教材，通過典型例題的預設來促進學生對解題方法的掌握，否則，單純地通過講題并讓學生做題，效果并不是很理想。

以“證明兩個三角形全等”的解題為例，要證明兩個三角形全等，學生已經掌握了SAS、ASA、AAS 等判定定理，在解題教學中就需要通過具體問題來引導學生思考應該采用哪一種方法。故預設例題為：如圖1，點B 在AE 上，∠CAB=∠DAB,要使△ABC ≌△ABD,可補充的一個條件是什么？

通過題干，引導學生分析，已知∠CAB=∠DAB，即有一個角相等，AB=AB，即AB 為公共邊，若要用“SAS”來判定，需要補充什么條件？（AD=AC）若用“ASA”來判定，需要補充什么條件？（∠CBA=∠DBA）若用“AAS”判定，需要補充什么條件？（∠C=∠D）除此之外，還可以補充什么條件，用什么判定定理來證明？如此，通過一個簡單的例題，讓學生對證明兩個三角形全等的判定定理進行鞏固，結合例題思考題干中所具備的條件，需要補充的條件。

解題教學所要做的不是帶領學生把書本中的知識完完全全地記下來，而是要讓學生學會根據題干去分析，在分析過程中應用所學知識去探究解題的一般方法。預設一般方法，就是通過典型例題，讓學生舉一反三，幫助學生夯實基礎知識，為拓展應用打下堅實基礎。當然，在解題過程中，教師要和學生積極互動，以問題啟發學生思考，這樣才能讓課堂不斷生成，讓學生融入解題過程中。

二、預設知識陷阱，完善知識結構

在數學解題教學中發現，很多學生并不太善于糾錯。數學教學強調要加強對學生思維能力的培養。在學生解題過程中，因學生的思維能力、知識結構、學習環境等多方面因素的影響，他們總會碰到各種各樣的問題，出現諸多錯誤。預設知識陷阱，就是要讓學生學會糾錯，能自己去發現錯誤，分析產生錯誤的原因，以此來幫助學生完善知識結構，提升解題技能。

例如，如圖2，∠CAB=∠DBA,∠C=∠D，E 為AC 和BD 的交點，△ADB 與△BCA 全等嗎？說明理由。

三角形全等判定中沒有“AAA”的判定定理，兩個三角形若三個角都相等，也不能判斷兩個三角形全等，但在解題中，很多學生就會用“AAA”來判定兩個三角形全等。為此，預設該題，目的就是要讓學生能發現這種錯誤并尋找解決方法。在課堂中，一些學生就采用了這樣的證明方法：因為∠CAB= ∠DBA, ∠C= ∠D，所以∠CBA= ∠DBA，所以△ADB ≌△BCA(AAA)。

當學生出現這種錯誤時，可及時追問：“我們學過的判定兩個三角形全等的方法有哪些？”“‘AAA’可以證明兩個三角形全等嗎？若不能，此題應該如何證明？”通過問題引導學生回顧所學知識，針對題干思考證明方法，找到AB 為公共邊，用“AAS”來證明。

在幾何解題中，很多學生會出現根據圖形就主觀判斷角或邊相等，或在原有定理、公式基礎上加入或減少條件的辦法進行證明，從而導致錯誤出現。預設知識錯誤陷阱，就是要讓學生在錯誤中對所學知識點進行回顧，完善認知。

三、預設解題反思，促進主動生成

在對初中生進行調查時發現，大多學生并不會在解題后進行反思。應該說，反思是數學思維的核心和動力，是解決問題的抓手，是提升學生解題思維能力的源泉，是促進學生掌握數學方法的關鍵所在。要讓學生能根據題干尋找解題方法，在解題教學中，要注重通過一題多解來幫助學生拓展思維，引導學生反思。

首先，要注重應用錯題來引導學生反思。以“平方根和算術平方根”的概念鞏固為例，練習中展示問題：下列說法正確的是（ ）。A. -8 是(-8)2的算術平方根本；B. 25 的平方根是±5；C. 4 是-16 的算術平方根；D. 1 的平方根是它本身。在解答中，學生的答案較多，此時就可引導學生分析。A答案中，算術平方根不可能為負數，故A必錯；B 答案中考查的是平方根的概念，可以為正數，也為負數，故B 正確；C 答案中，-16 是沒有平方根的，自然也就沒有算術平方根了，故而錯誤；D 答案只考慮了一種情況，正數的平方根有兩個，故而錯誤。引導學生分析選擇錯誤的原因，幫助學生鞏固“平方根和算術平方根”的概念，加強反思。

其次，注重采用一題多解來引導學生反思。例如，如圖3，已知D、E 在BC 上，AB=AC，AD=AE，求證：BD=CE。

大多數學生是根據△ABC 和△ADE 是等腰三角形，利用“等腰三角形底邊上的三線合一”來求證BH=CH。解題后，引導學生反思用其他方法如何證明。經過討論，得到要證明線段相等，可考慮證明三角形全等，從而從證明“△ABD ≌△ACE”或“△ABE ≌△ACD”展開探索，而有的學生則考慮用等腰三角形是軸對稱圖形的性質來證明。如此，通過反思，引導學生從不同的角度思考解題方法，學生的思維得到培養，掌握了多種求證方法。

四、關注學生主體，合理演繹生成

在初中數學解題教學中，學生并不是作為被動的接受對象在接受知識，相反，他們是學習的主體，要讓數學課堂在預設和生成中更加精彩，必須關注學生的主體性，通過多種方式讓學生參與到解題過程中。

首先，要讓學生敢說。在解題中，無論學生得到的答案正確與否，都要引導學生說理由，通過說讓學生總結自己是如何解題的，產生錯誤的原因是什么。很多教師在課堂中不太愿意讓學生說，認為這樣耽誤課堂時間，其實不然，讓學生參與表達，將講題過程表達出來，可更好地幫助學生鞏固所學知識，也利于其他學生從中吸取經驗。

其次，要注重應用問題來驅動學生參與互動，促進課堂的生成。如：已知x2=1，那么 的值是多少？在解答中問：“由x2=1 可以推出什么？為什么？”通過該問題復習所學知識，再追問：“一切實數都有立方根，-1 有沒有立方根？”通過問題引導學生正確求解。當然，在數學解題過程中，問題并不是越多越好，而是要根據實際問題，引導學生結合題干展開討論和思考，從而找到正確的解題方法。

最后，要引導學生學會歸納和總結，如：三角形全等的證明都有哪些方法？應該滿足哪些條件？解題后要引導學生對證明三角形全等的方法進行歸納。又如，幾何證明中添加輔助線的方法，針對哪種圖形，一般可以添加哪些輔助線。諸如此類，通過一段時間的積累，學生掌握了多種解題方法，在解題中靈活應用，其應用能力自然得到提升。

沒有預設，解題教學難以順利開展；沒有生成，整個課堂變得毫無生氣。在初中數學解題教學中，要緊扣教材和學生實際，做好充分預設，關注學生在解題過程中的思維培養，及時針對學生的探究給予引導、點撥，促進課堂向著生成方向發展。如此，學生在解題過程中，思維能力得到了培養，掌握了方法，形成了技能，才能獲得更好的發展。