光滑擴(kuò)展有限元方法及其特點(diǎn)研究

徐志民， 謝 偉， 竇鵬鵬

(西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院，西安 710072)

1 引 言

隨著有限元法在工程中的廣泛應(yīng)用，其局限性漸漸凸顯。首先，常規(guī)有限元法的形狀函數(shù)是連續(xù)的，導(dǎo)致單元內(nèi)部材料參數(shù)不能階躍，因此分析斷裂力學(xué)的能力很弱。其次，由于常規(guī)有限元法在數(shù)值積分過程中需要進(jìn)行坐標(biāo)映射，對單元形狀有著較高的要求，因此有限單元法在處理畸變網(wǎng)格時表現(xiàn)無力。

為了解決真實(shí)結(jié)構(gòu)中存在的疲勞裂紋擴(kuò)展問題，針對斷裂問題的數(shù)值分析方法得到了廣泛的研究。但是采用常規(guī)有限元法進(jìn)行斷裂力學(xué)分析時，由于其裂紋尖端存在奇異性，計算易不收斂，必須對裂尖網(wǎng)格進(jìn)行細(xì)化加密處理。另外，在裂紋擴(kuò)展計算中，裂紋必須沿著已有的網(wǎng)格邊線進(jìn)行擴(kuò)展，每一步的擴(kuò)展都需要進(jìn)行網(wǎng)格重構(gòu)，增加了計算的負(fù)擔(dān)。所以，為了降低對網(wǎng)格的依賴性，引入了放寬網(wǎng)格負(fù)擔(dān)的離散化技術(shù)，擴(kuò)展有限元法XFEM[1-6]應(yīng)運(yùn)而生。XFEM基于單元分解法PUM[7,8]，通過在位移場的基礎(chǔ)上添加擴(kuò)充函數(shù)來反映裂尖區(qū)域的不連續(xù)性。XFEM的不連續(xù)界面獨(dú)立于網(wǎng)格，可以沿著任意角度擴(kuò)展且無需網(wǎng)格加密和重構(gòu)，有效彌補(bǔ)了常規(guī)有限元法在處理斷裂力學(xué)方面的不足，但XFEM仍然需要進(jìn)行坐標(biāo)映射。Liu等[9]提出了S -FEM，二維 S -FEM 將單元內(nèi)部的面積分轉(zhuǎn)換為沿著光滑域的線積分，避免了單元的坐標(biāo)映射(等參轉(zhuǎn)換)和雅可比矩陣計算等問題，降低了常規(guī)有限元法對網(wǎng)格質(zhì)量的依賴性。隨后根據(jù)光滑應(yīng)變技術(shù)的不同演化出基于節(jié)點(diǎn)光滑有限元法NS -FEM、光滑子域有限元法CS -FEM、光滑邊域有限元法ES -FEM和光滑面域有限元法FS -FEM。……