淺析如何將數學建模思想有效融入線性代數課程教學

吳亞平 馮麗珠

本文從線性代數課程的特點及提高學生的數學素質、加強數學綜合應用能力的培養等層面對數學建模思想融入線性代數教學進行分析，探討了在實際教學中如何有效地融入建模思想。

《線性代數》課程是各高校廣泛開展的一門公共基礎課程，與《高等數學》、《概率論與數理統計》一起構成非數學專業的三大數學類課程，在理、工、農、醫、經濟、管理等學科門類各專業都要開設，在研究生入學考試《數學一》、《數學二》、《數學三》中占比都是22%。自2005年李大潛院士提出“將數學建模思想融入數學主干課”以來，數學建模進入線性代數課堂成為線性代數教學改革的熱點。

1 線性代數課程特點及教學現狀

線性代數課程的特點是比較系統，前后知識聯系得非常緊密，概念性強、課程內容抽象，還有大量公式定理的證明，計算也比較復雜。由于學生的學習基礎不一致、基礎薄弱，學習興趣與積極性不高，再加上線性代數課程本身的特點，導致線性代數課程整體的學習效果較差。具體表現如下：

（1）由于《線性代數》理論的抽象性和計算的復雜性，傳統的教學方法偏重于理論教學、偏重老師的講授，忽略學生的主體地位。枯燥的教學模式容易使學生產生視覺疲勞，很難誘導學生獨立思考。課堂上，學生如果不能進入其意境，教師往往感覺在唱“獨角戲”，久而久之，教師也容易產生教學的“滯性”，對原本應該生動的課堂失去了激情，直接影響部分優秀學生對《線性代數》課程原理、思想和章節內在聯系的理解，最終導致大部分學生只是為了應付考試而學習這門課程。

（2）課時太少，大部分學校理科《線性代數》是40-48學時，文科是24-32學時。由于時間的限制，無法對線性代數知識深層次的挖掘及講解，只能停留在淺層次的教學。很多定理、性質無法證明，學生感覺《線性代數》就是強制灌輸性質和定理，不知道內在聯系，極大地挫敗了學生學習《線性代數》的積極性，這對于培養學生的抽象思維能力及邏輯思維能力是非常不利的。

（3）由于教學資源緊張，線性代數基本上都是大班授課，一般一個班的人數會在120左右。一個教師在講臺上給一百多個學生授課。一方面學生的基礎參差不齊，對于教學內容和教學進度的安排，教師只能從照顧大部分學生角度出發，這樣對于優秀學生及差生自然是不利的;另一方面，由于課堂人數過多，老師跟學生沒辦法有效溝通，及時了解學生當堂的學習效果，從而無法準確了解學生的學習情況。自然沒辦法做到因材施教。

（4）高校擴招后學生的數學基礎參差不齊，部分學生學習興趣與積極性不高。再加上線性代數課程比較系統，前后知識聯系得非常緊密，概念性強、課程內容抽象，還有大量公式定理的證明，計算也比較復雜。這就導致線性代數課程整體的學習效果較差。當我們的“精英教育”向“大眾化教育”轉化的過程中，教師往往被動地降低教學要求，放寬學生過關的難度，有的學校甚至通過控制考試及格率來保證學生的畢業率和授位率，直接導致學生的學習質量無法保證，同時挫敗了部分教師的教學積極性。

（5）學生沒有養成良好的學習習慣。上課全靠老師點名約束，對于課后作業直接網上搜答案或是抄襲同學的;課上與教師在兩個世界，玩手機、看視頻、玩抖音等;平時學習囫圇吞棗，考試依仗劃重點、作弊。

2 數學建模思想融入到線性代數教學的重要性

目前大部分高校對該課程的要求是：掌握低階行列式的計算、矩陣四則運算及有效求解逆矩陣、線性方程組的求解、向量組的秩、二次型的標準化等基本理論。顯然，僅僅講授這些，對于提高學生數學素養、增強數學計算能力與抽象與邏輯思維能力是遠遠不夠的。更別說讓學生用所學的線性代數知識去解決其專業領域的復雜工程問題。因此，這門課程的教學內容改革、教學方法和手段改革以及考核方式的改革成為了教師在線性代數課程教學中探索和實踐的焦點。

《線性代數》與《數學建模》課程不僅在教學目的、教學任務和教學內容有一定的差別，而且《線性代數》還缺乏《數學建模》課程的靈活性，尤其是缺乏創新意識的培養。因此，我們借用《數學建模》課程的教學思想，在《線性代數》課堂上，一方面有系統地講解定義、定理和性質，另一方面，堅持培養學生自主學習的意識和能力，引導學生進行問題驅動模式的學習，從而提高學生的學習能力和創新能力。

3 數學建模思想融入到線性代數教學的途徑

數學建模是根據實際問題建立數學模型，對數學模型進行求解，然后根據結果去解決實際問題。數學建模是聯系數學與實際問題的橋梁，是數學在各個領域廣泛應用的媒介，是數學科學技術轉化的主要途徑。數學建模在科學技術發展中的重要作用越來越受到數學界和工程界的普遍重視，它已成為現代科技工作者必備的重要能力之一。下面介紹一下我們是如何將數學建模融入到線性代數的教學中。

3.1 講述概念時，引入數學建模思想

線性代數中一些抽象的概念和定義都來源于實際問題，在講解這些概念時引入實例，一方面能吸引學生的注意力，另一方面加深學生對概念的理解。例如在講解矩陣的定義引入相應城市交通模型或工廠投入產出模型，這樣讓學生了解矩陣就是一個數表，在現實中很多問題都可以通過矩陣來表示。

3.2 講解例題時，引入數學建模思想

選擇一些與例題相關、有趣的現實問題，引導學生進行分析，通過合理的假設，建立簡單的數學模型并解答。講解矩陣乘法時引入學生期末成績的計算。比如計算總評成績的公式是：

總評成績 = 平時成績×30% +期中測驗×20% +期末考試×50%。

矩陣A第一列由學生平時成績構成，第二列由學生其中測驗構成，第三列由學生期末考試成績構成，矩陣B只有一列（0.3，0.2，0.5）T， AB的成績得到就是學生最后的總評成績。讓學生發現兩個矩陣做乘法必須滿足什么條件。

3.3 在課后作業中引入數學建模

課后作業能有效鞏固課堂所學的知識，提高學生解決實際問題的能力。根據學生不同專業及基礎，布置適合學生的課后作業。

數學建模以學生為主，教師利用一些事先設計好問題啟發，引導學生主動查閱文獻資料和學習新知識，鼓勵學生積極開展討論和辯論，培養學生主動探索，努力進取的學風，培養學生從事科研工作的初步能力，培養學生團結協作的精神、形成一個生動活潑的環境和氣氛。

4 結束語

《線性代數》定義、定理及性質非常多，而且抽象，如果我們一一羅列并證明，學生會感到非常吃力及枯燥。我們采用問題驅動的教學模式進行《線性代數》的教學，主要體現在引導學生思考、引導學生提問和引導學生下結論方面。引導學生提問體現了學生學習《線性代數》的主動性，如果學生能主動學習《線性代數》知識，就有了學好《線性代數》知識的基本保障。利用學生的好奇心，引導學生進一步提出自己的問題，剝去抽象概念的層層外衣，露出概念的本質性內容，讓學生最終認識知識的內涵本質、聯系和規律。總之，一堂出色的《線性代數》課應該具有一套行之有效的問題驅動教學方法，主講老師繪聲繪色地引導和講解，能讓學生對《線性代數》的學習興趣油然而生，并產生濃厚的興趣和強烈的求知愿望。

筆者認為線性代數教學過程的重點是創造一個環境去誘導學生的學習欲望、培養他們的自學能力，增強他們的數學素質和創新能力，提高他們的數學素質。我們應該關注學生解決問題的過程，看重學生獲取新知識的能力，而不僅僅是知識與結果。

項目資助：武漢市教育局重點教研項目（2014017）

（作者單位：江漢大學數學與計算機科學學院）